Thèse soutenue

Modèles de Moran multi-alléliques et distributions quasi-stationnaires

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Auteur / Autrice : Josué Corujo Rodriguez
Direction : Djalil Chafaï
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Sciences
Date : Soutenance le 03/12/2021
Etablissement(s) : Université Paris sciences et lettres
Ecole(s) doctorale(s) : Ecole doctorale SDOSE (Paris)
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre de recherche en mathématiques de la décision (Paris) - CEntre de REcherches en MAthématiques de la DEcision / CEREMADE
établissement opérateur d'inscription : Université Paris Dauphine-PSL (1968-....)
Jury : Président / Présidente : Amandine Véber
Examinateurs / Examinatrices : Djalil Chafaï, Amandine Véber, Vlada Limic, Denis Villemonais, Amaury Lambert, Bertrand Cloez, Pierre Del Moral, Simona Grusea
Rapporteurs / Rapporteuses : Vlada Limic, Denis Villemonais

Résumé

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L'objectif principal de cette thèse est d'étudier l'évolution, en temps long et pour une grande taille de population, des modèles de Moran multi-alléliques, qui sont des processus de Markov à temps continu et à espace discret, inspirés de modèles mathématiques pour la biologie. Nous nous intéressons à l'étude, entre autres aspects, de la relation entre le processus de Moran, compris comme un système de particules en interaction, et la théorie des distributions quasi-stationnaires. Plus précisément, nous exhibons des phénomènes de propagation du chaos lorsque la taille de la population est grande, et nous établissons des contrôles quantitatifs de la convergence en temps long vers l'équilibre. Les principaux résultats sont divisés en trois chapitres. Dans le premier chapitre, nous montrons que la mesure de probabilité empirique induite par le système de particules converge, lorsque la taille de la population est grande, vers la loi d'une chaîne de Markov absorbante conditionnée à ne pas être absorbée. De plus, nous établissons un contrôle de cette convergence, en prouvant une propagation du chaos uniforme en temps. Nous prouvons également la normalité asymptotique du biais et nous fournissons une expression explicite pour la variance asymptotique, utilisée ensuite pour définir un autre système de particules avec une erreur quadratique plus petite. Dans le deuxième chapitre, nous considérons un modèle plus simple où l'espace d'état est fini et le taux de mortalité est uniforme. Dans ce contexte, nous trouvons une expression explicite pour le spectre du générateur du système de particules en termes de spectre de la matrice des taux de mutation. De plus, nous étudions l'ergodicité du processus et, pour un schéma particulier de mutation, mutation indépendante des parents, nous sommes en mesure de prouver l'existence de phénomènes de cutoff pour les distances de variation totale et chi-deux. Le troisième chapitre est consacré à l'étude d'un cas particulier, où le processus de mutation correspond à une marche aléatoire asymétrique sur le graphe cyclique. Nous montrons que ce modèle possède une solvabilité remarquable, malgré le fait qu'il soit non-réversible avec une distribution invariante non-explicite.