Strates de différentielles holomorphes et lieux de saut de cohomologie

Strata of holomorphic differentials and cohomology jump loci

• Auteur / Autrice : Leonardo Lerer
• Direction : Julien Grivaux, Bruno Klingler
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques fondamentales
• Date : Soutenance le 03/09/2021
• Etablissement(s) : université Paris-Saclay
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard
• Partenaire(s) de recherche : référent : Faculté des sciences d'Orsay
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques d'Orsay (1998-....)
• Jury : Président / Présidente : Philippe Eyssidieux
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Carlos Simpson, Martin Möller, Ekaterina Amerik, Claire Voisin
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Carlos Simpson, Martin Möller

Mots clés

Mots clés contrôlés

Topologie algébrique

Cohomologie

Espaces de modules

Géométrie algébrique

Mots clés libres

Géometrie bi-Algebriques

Surfaces plates

Lieux de saut

Bi-Algebraic geometry

Flat surfaces

Jump loci

Résumé

La thèse est divisée en deux parties indépendantes. Dans le premier partie, nous étudions les strates de différentielles holomorphes du point de vue de la géométrie bialgébrique et de la théorie de Hodge. Nous définissons une structure bialgébrique sur les strates et nous étudions les sous-variétés bialgébriques: nous donnons en particulier une classification partielle des courbes bialgébriques dans la strate minimale. Nous étudions ensuite la distribution des points spéciaux dans les strates. Notamment, ils sont denses dans chaque strate pour la topologie euclidienne. Contrairement aux cas classiques des variétés en groupes commutatifs et des variétés de Shimura, on trouve des sous-variétés ℚ-bialgébriques ne contenant qu'un nombre fini de points spéciaux. En dernier lieu, on s'intéresse aux propriétés de ``modération'' des coordonnées locales des strates et nous prouvons leur définissabilité au sens de l'o-minimalité. Dans la deuxième partie, on s'intéresse à la topologie des variétés algébriques complexes: plus précisément, nous étudions les lieux de saut pour la cohomologie dans l'espace de modules de Betti associé aux variétés algébriques complexes singulières. Nous obtenons des énoncés de structure pour les lieux de saut en rang un pour les variétés normales et pour les variétés projectives dont le premier groupe de cohomologie H¹(X,ℚ) est pur de poids un. Ensuite, nous démontrons la compatibilité des idéaux des lieux de saut avec la théorie de Hodge des anneaux locaux complétés dans la variété de représentations (en tout rang), pour une variété projective lisse. En rang un, nous n'avons pas besoin de l'hypothèse de projectivité ou de lissité et on admet des variétés quasi-projectives normales. En dernier lieu, nous traitons certains lieux de saut pour la filtration du poids et la filtration de Hodge dans la cohomologie des systèmes locaux unitaires de rang un.

This thesis is divided in two independent parts. In the first part, we study the strata of holomorphic differentials from the point of view of bialgebraic geometry and Hodge theory. We define a bialgebraic structure on the strata and we study their bialgebraic subvarieties: in particular, we provide a partial classification of bialgebraic curves in the minimal stratum. We then focus on the distribution of the special points in the strata. We prove that they are dense in each stratum, for the euclidean topology. In contrast to the classical cases of commutative group varieties and Shimura varieties, there exist ℚ-bialgebraic subvarieties containing only finitely many special points. Lastly, we study the ``tameness'' properties of certain local coordinates of the strata (the period coordinates) and we prove that they are definable, in the sense of o-minimality. In the second part, we focus on the topology of complex algebraic varieties: more precisely, we study the cohomology jump loci in the Betti moduli space of singular complex algebraic varieties. We obtain results on the structure of the cohomology jump loci in rank one for normal varieties and for projective varieties whose first cohomology group H¹(X,ℚ) is pure of weight one. We then prove the compatibility of the cohomology jump loci with the Hodge theory of the completed local rings in the representation variety (for any rank) of a smooth projective variety. In rank one, we do not need the hypotheses of smoothness and projectivity, and we allow normal quasi-projective varieties. Lastly, we study certain jump loci associated to the weight filtration and to the Hodge filtration in the cohomology of unitary local systems of rank one.