Représentations supercuspidales de GL(n) sur un corps local non archimédien : distinction par un sous-groupe unitaire ou orthogonal, changement de base et induction automorphe

Supercuspidal representations of GL(n) over a non-archimedean local field : distinction by a unitary or orthogonal subgroup, base change and automorphic induction

• Auteur / Autrice : Jiandi Zou
• Direction : Vincent Sécherre
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques fondamentales
• Date : Soutenance le 13/07/2021
• Etablissement(s) : université Paris-Saclay
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques de Versailles
• Partenaire(s) de recherche : Référent : Université de Versailles-Saint-Quentin-en-Yvelines (1991-....)
• Partenaire(s) de recherche : graduate school : Université Paris-Saclay. Graduate School Mathématiques (2020-….)
• Jury : Président / Présidente : Christophe Breuil
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Jean-François Dat, Paul Broussous, Shaun Stevens
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Jean-François Dat, Fiona Murnaghan

Mots clés

Mots clés contrôlés

Représentations modulaires de groupes

Programme de Langlands

Représentations de groupes

Groupes p-adiques

Mots clés libres

Groupes réductifs p-Adiques

Théorie des représentations

Correspondance de Langlands locale

Fonctorialité de Langlands locale

Problème de la distinction

Représentations modulaires

P-Adic reductive groups

Representation theory

Local Langlands correspondence

Local Langlands functoriality

Problem of distinction

Modular representations

Résumé

Dans cette thèse, nous considérons quelques exemples concrets de la relation entre la correspondance de Langlands locale, sa fonctorialité et le problème de la distinction. Soit F/F_0 une extension cyclique finie de corps localement compacts non-archimédiens de caractéristique résiduelle p et soit R un corps algébriquement clos de caractéristique l différent à p. Dans la première partie, nous supposons que F/F_0 est quadratique et p est impair, et nous étudions les représentations irréductibles de GL_n(F) sur R distinguées par un sous-groupe unitaire. Nous résolvons complètement le problème pour les représentations supercuspidales et obtenons des résultats partiels pour les représentations génériques. Nous définissons également une version l-modulaire du changement de base cyclique. Dans la deuxième partie, nous supposons que F=F_0 et p est impair, et nous caractérisons complètement les représentations supercuspidales complexes de GL_n(F) distinguées par un sous-groupe orthogonal. Dans la dernière partie pour F/F_0 modérément ramifiée, nous étudions le changement de base et l'induction automorphe pour des représentations supercuspidales complexes via la théorie des types simples.

In this thesis, we consider several concrete examples of the relation among the local Langlands correspondence, its functoriality and the problem of distinction. Let F/F_0 be a finite cyclic extension of non-archimedean locally compact fields of residue characteristic p and let R be an algebraically closed field of characteristic l different from p. In the first part, we assume F/F_0 to be quadratic and p to be odd, and we study the irreducible representations of GL_n(F) over R distinguished by a unitary subgroup. We completely solve the problem for supercuspidal representations and get partial results for generic representations. Meanwhile we also define an l-modular version of the cyclic base change lift. In the second part, we assume F=F_0 and p odd, and we fully characterize the complex supercuspidal representations of GL_n(F) distinguished by an orthogonal subgroup. In the final part for F/F_0 tamely ramified, we study the base change lift and the automorphic induction for complex supercuspidal representations via the simple type theory.