Aspects dynamiques des structures projectives convexes

Dynamical aspects of convex projective structures

• Auteur / Autrice : Pierre-Louis Blayac
• Direction : Fanny Kassel
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques fondamentales
• Date : Soutenance le 19/07/2021
• Etablissement(s) : université Paris-Saclay
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Alexander Grothendieck (Bures-sur-Yvette, Essonne ; 2015-....) - Laboratoire Alexander Grothendieck
• Partenaire(s) de recherche : référent : Université Paris-Saclay. Faculté des sciences d’Orsay (Essonne ; 2020-....)
• Jury : Président / Présidente : Françoise Dal'Bo
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Boris Hasselblatt, Gilles Courtois, Ursula Hamenstädt, Yves Benoist
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Boris Hasselblatt, Gilles Courtois

Mots clés

Mots clés contrôlés

Groupes de Coxeter

Entropie

Groupes de Lie

Théorie ergodique

Géométrie projective

Mots clés libres

Ouvert proprement convexe

Convexe divisible

Flot géodésique

Densité conforme

Groupe de Coxeter

Exposant critique

Properly convex open set

Divisible convex set

Geodesic flow

Conformal density

Coxeter group

Critical exponent

Résumé

Cette thèse est consacrée à l'étude de la dynamique du flot géodésique des variétés projectives convexes, et fait suite aux travaux de Benoist, Bray, Crampon, Marquis et F.Zhu sur le sujet.Ces variétés sont des quotients d'ouverts projectifs proprement convexes, munis de la métrique de Hilbert, par des groupes linéaires discrets sans torsion, et le flot géodésique y suit les lignes droites projectives.Elles présentent des similitudes avec les variétés riemanniennes à courbure négative ou nulle, ainsi on s'inspirera des nombreux travaux, notamment ceux de Knieper et Roblin, portant sur le flot géodésique de ces dernières. En particulier, la majeure partie des résultats présentés ici portent sur les variétés projectives convexes de rang un, introduites par M.Islam et A.Zimmer, et analogues aux variétés riemanniennes de rang un.Étant donnée une variété projective convexe de rang un, nous introduisons un fermé du fibré unitaire tangent invariant par le flot géodésique, appelé fibré unitaire tangent biproximal, dont nous montrons qu'il est le fibré unitaire tangent tout entier dans le cas compact, et que le flot géodésique y est topologiquement mélangeant en général. (Un résultat de mélange est aussi obtenu dans le cas compact de rang supérieur.) Nous développons la théorie des densités de Patterson--Sullivan pour les variétés projectives convexes de rang un, qui est utilisée pour obtenir une dichotomie de Hopf--Tsuji--Sullivan--Roblin et l'existence et unicité de la mesure d'entropie maximale sur le fibré unitaire tangent biproximal lorsque le cœur convexe (introduit par Danciger--Guéritaud--Kassel) est compact. Cette théorie nous permet aussi d'obtenir sous certaines conditions plusieurs résultats d'équidistribution : les géodésiques périodiques s'équidistribuent dans le fibré unitaire tangent biproximal, tandis que chaque orbite du groupe fondamental dans le revêtement universel de la variété s'accumule sur le bord projectif de ce dernier comme prescrit par la densité de Patterson--Sullivan.En parallèle, faisant suite aux travaux de X.Nie et T.Zhang, nous étudions l'exposant critique des variétés projectives convexes. Plus précisément, nous nous intéressons à l'ensemble des valeurs prises par l'exposant critique lorsque l'on fait varier la structure projective convexe sur une variété topologique fixée. Par exemple, nous déterminons la borne inférieure de l'exposant critique pour certaines familles de telles structures, comme l'ensemble des structures de volume fini sur une surface.

In this thesis we study the dynamics of the geodesic flow on convex projective manifolds, following work of Benoist, Bray, Crampon, Marquis and F.Zhu. These manifolds are quotients of properly convex, open, projective sets, equipped with the Hilbert metric, by discrete linear groups; the geodesic flow parametrises straight projective lines. These manifolds show similarities with non-positively curved Riemannian manifolds, hence we take inspiration from the literature on the geodesic flow of the latter, especially from work of Knieper and Roblin. In particular, most results presented here concern rank-one convex projective manifolds, which were introduced by M.Islam and A.Zimmer, and are analogues of rank-one Riemannian manifolds.Given a rank-one convex projective manifold, we introduce a flow-invariant closed subset of the unit tangent bundle, called the biproximal unit tangent bundle, which is proved to be the full unit tangent bundle if the manifold is compact, and on which the geodesic flow is proved to be topologically mixing in general. (A mixing result is also obtained in the higher-rank compact case.) We develop the theory of Patterson--Sullivan densities for rank-one convex projective manifolds, which is used to establish a Hopf--Tsuji--Sullivan--Roblin dichotomy and, if the convex core (introduced by Danciger--Guéritaud--Kassel) is compact, existence and uniqueness of the measure of maximal entropy on the biproximal unit tangent bundle. This theory also allows us to establish, under certain conditions, equidistribution results: closed geodesics equidistribute in the biproximal unit tangent bundle, while each orbit of the fundamental group in the universal cover accumulate on the projective boundary of the latter as prescribed by the Patterson--Sullivan density.We also study the critical exponent of convex projective manifolds, building on work of X.Nie and T.Zhang. More precisely, we look at the values taken by the critical exponent when letting the convex projective structure vary on a fixed topological manifold. For instance, we give the infimum of the critical exponents of certain families of convex projective structures, such as the family of finite-volume structures on a surface.