Géométrie Brownienne

Brownian Geometry

• Auteur / Autrice : Armand Riera
• Direction : Jean-François Le Gall
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques fondamentales
• Date : Soutenance le 07/07/2021
• Etablissement(s) : université Paris-Saclay
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques d'Orsay (1998-....)
• Partenaire(s) de recherche : Référent : Faculté des sciences d'Orsay
• Jury : Président / Présidente : Jean Bertoin
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Grégory Miermont, Thomas Duquesne, Nicolas Curien, Bénédicte Haas
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Grégory Miermont, Thomas Duquesne

Mots clés

Mots clés contrôlés

Mouvement brownien, Processus de

Fragmentation

Inégalités isopérimétriques

Mots clés libres

Cartes

Serpent Brownien

Processus de Bessel

Inégalités isopérimétriques

Théorie des excursions

Géométrie aléatoire

Planar maps

Brownian snake

Bessel processes

Isoperimetric inequalities

Excursion theory

Random geometry

Résumé

Cette thèse porte sur l’étude des modèles continus de surfaces aléatoires, émergeant comme limites d’échelle de modèles de cartes planaires aléatoires. Par analogie avec le mouvement brownien, nous parlerons de géométrie brownienne. Nous commençons par explorer métriquement le disque brownien en suivant les distances par rapportà son bord. Nous montrons en particulier que le disque brownien bénéficie d’une propriété de Markov spatiale encodée par un processus de croissance fragmentation explicite. Nous dérivons ensuite des résultats similaires pour la sphère brownienne et le plan brownien. Dans un deuxième temps, nous donnons une construction unifiée pour les trois principaux modèles non-compacts de géométrie brownienne. Cette construction permet de contrôler finement les distances de ces modèles à leurs bords. Ces contrôles nous aident à obtenir plusieurs résultats géométriques et, en particulier, à montrer que les complémentaires des hulls dans le plan brownien sont des disques browniens de volume infini. Cette identification nous amène finalement à établir une propriété de Markov spatiale forte pour le plan brownien et à donner le profil isopérimétrique optimal de ce dernier. Enfin, nous nous intéressons à des résultats plus quantitatifs en établissant des formules explicites concernant des objets géométriques. Ainsi, nous étudions certaines masses de sphères, et établissons – pour des cellules de Voronoï ou des hulls –des formules explicites concernant leurs volumes et périmètres dans le disque brownien.

This thesis is devoted to the study of continuous models arising as the scaling limit of differentmodels of random planar maps. By analogy with Brownian motion, this theory is called Browniangeometry. We start by exploring the Brownian disk in a metric way, by following the distances to its boundary.In particular, we establish that the Brownian disk satisfies a spatial Markov property encoded byan explicit growth-fragmentation process. We then extend our results to the Brownian sphere and tothe Brownian plane. We also provide a unified construction of the three main non-compact models of Brownian geometry. This construction allows us to control precisely the distances to the boundary in these models. Wethen derive several geometric results and we manage to prove that the complements of hulls in the Brownianplane are infinite volume Brownian disks. This identification leads us to determine a strong spatial Markov property for the Brownian plane and to obtain its optimal isoperimetric profile. Finally, we focus on quantitative results by establishing explicit formulas concerning geometric objects. In particular, we study some sphere massesand give explicit computations concerning the volumes and perimeters of Voronoï cells and hulls in the Brownian disk.