Thèse soutenue

La conjecture de Grothendieck–Serre sur les anneaux de valuation
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Auteur / Autrice : Ning Guo
Direction : Kęstutis Česnavičius
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques fondamentales
Date : Soutenance le 25/06/2021
Etablissement(s) : université Paris-Saclay
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques d'Orsay (1998-....)
référent : Faculté des sciences d'Orsay
Jury : Président / Présidente : Olivier Wittenberg
Examinateurs / Examinatrices : Philippe Gille, David Harari, Matthew Morrow, Jean-Louis Colliot-Thélène
Rapporteurs / Rapporteuses : Philippe Gille, Ivan Panin

Résumé

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Dans cet article, nous établissons la conjecture de Grothendieck-Serre sur les anneaux de valuation : pour un schéma en groupes réductifs G sur un anneau de valuation V de corps des fractions K, un torseur sous G sur V est trivial s'il est trivial sur K. Ce résultat est prédit par la conjecture originale de Grothendieck-Serre et la résolution des singularités. La nouveauté de notre preuve réside dans le fait de surmonter les subtilités apportées par les anneaux de valuation généraux non discrets. En utilisant des résolutions flasques et en induisant avec la cohomologie locale, nous prouvons une contrepartie non-noétherienne du cas des tores de Colliot-Thélène-Sansuc. Ensuite, en profitant des techniques d'algébraization, nous obtenons le passage au cas hensélien de rang un. Enfin, nous induisons sur les sous-groupes de Levi et utilisons l'intégralité des points rationnels des groupes anisotropes pour réduire au cas anisotrope semi-simple, dans lequel nous faisons appel aux propriétés des sous-groupes parahoriques de la théorie de Bruhat-Tits pour conclure. Dans la dernière section, en utilisant des propriétés des faiseaux réflexifs, nous prouvons également une variante de la conjecture de pureté de Nisnevich.