Comportement en temps long de solutions d'EDP non linéaires : stabilité des ondes progressives, dispersion, intégrabilité, amortissement

Long-time behavior of solutions to nonlinear PDEs : orbital stability of traveling waves, dispersion, integrability, damping

• Auteur / Autrice : Louise Gassot
• Direction : Patrick Gérard
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques fondamentales
• Date : Soutenance le 08/06/2021
• Etablissement(s) : université Paris-Saclay
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques d'Orsay (1998-....) - École normale supérieure (Paris ; 1985-....). Département de mathématiques et applications (1998-....)
• Partenaire(s) de recherche : Référent : Faculté des sciences d'Orsay
• Jury : Président / Présidente : Isabelle Gallagher
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Hajer Bahouri, Catherine Sulem, Nicolas Burq, Thomas Kappeler
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Hajer Bahouri, Catherine Sulem

Mots clés

Mots clés contrôlés

Systèmes intégrables

Dispersion (mathématiques)

Solitons

Équations dispersives non linéaires

Schrödinger, Équation de

Mots clés libres

Équation de Schrödinger non linéaire

Équation de Benjamin-Ono

Systèmes intégrables

Ondes progressives

Dispersion

Comportement en temps long

Dispersion

Integrable systems

Traveling waves

Benjamin-Ono equation

Long-Time behavior

Nonlinear Schrödinger equation

Résumé

Cette thèse est consacrée à l'étude du comportement en temps long de solutions pour deux familles d'EDP non linéaires. D'une part, on s'intéresse à l'équation de Schrödinger non linéaire cubique sur le groupe de Heisenberg, qui constitue une équation sans dispersion. On sait qu'il existe des solutions ondes progressives minimisantes radiales pour toute vitesse dans ]-1,1[, et on montre des propriétés de stabilité orbitale de ces ondes progressives à partir de l'étude d'un système limite obtenu en faisant tendre la vitesse vers 1. Ce système limite joue le même rôle que l'équation de Szegő cubique pour l'équation de demi-onde cubique. Puis, on établit en basse régularité le caractère presque-sûrement localement bien posé du problème de Cauchy randomisé associé à une équation de Schrödinger-Grushin proche pour une grande famille de données initiales. D'autre part, on analyse deux équations apparentées à l'équation de Benjamin-Ono en utilisant les propriétés d'intégrabilité de l'équation de Benjamin-Ono. Pour l'équation du troisième ordre dans la hiérarchie de Benjamin-Ono, on étudie le problème de Cauchy, on caractérise les solutions ondes progressives, puis on détermine leurs propriétés de stabilité orbitale. Pour une équation de Benjamin-Ono amortie par les petits modes de Fourier cos et sin, on décrit les limites faibles des trajectoires en temps infini, puis on montre l'absence de croissance des normes de Sobolev d'ordre supérieur en temps infini.

This thesis is devoted to the study of the long-time behavior of solutions to two families of nonlinear PDEs. On the one hand, we are interested in the nonlinear cubic Schrödinger equation on the Heisenberg group, which displays total lack of dispersion. We know that there exists ground state radial traveling waves solutions with arbitrary speed in (-1,1), and we establish orbital stability properties for these traveling waves, starting from a limiting system obtained when the speeds tends to 1. This limiting system plays the same role as the Szegő equation towards the cubic half-wave equation. Then, we establish a low regularity almost-sure local well-posedness theorem for the randomized Cauchy problem associated to a close Schrödinger-Grushin equation for a large family of initial data. Finally, we analyze the solutions to two equations related to the Benjamin-Ono equation, by using the integrability properties of the Benjamin-Ono equation. For the third order equation in the Benjamin-Ono hierarchy, we study the Cauchy problem, characterize the traveling wave solutions and determine their orbital stability properties. For a Benjamin-Ono equation with a damping term on the smallest Fourier modes cos and sin, we describe the weak limits points of the trajectories in infinite time, then prove the boundedness of higher order Sobolev norms in infinite time.