Propriété d'intersection, décomposition d'interaction, optimisation régionalisée et applications.

Intersection property, interaction decomposition, regionalized optimization and applications.

• Auteur / Autrice : Grégoire Sergeant-Perthuis
• Direction : Daniel Bennequin
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 28/05/2021
• Etablissement(s) : Université Paris Cité
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche (1997-....)
• Jury : Président / Présidente : Paul-André Melliès
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Paul-André Melliès, Matilde Marcolli, François Gay-Balmaz, Grégory Ginot, Frédéric Hélein, Sylvie Paycha
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Matilde Marcolli, François Gay-Balmaz

Mots clés

Mots clés contrôlés

Bethe, Ansatz de

Probabilités

Gibbs, Mesures de

Mots clés libres

Problème des marginales

Mesures de Gibbs

Probabilités et théorie des catégorie

Energie libre de Bethe

Algorithme de passage de messages

Décomposition d'interaction

Décomposition en chaos

Marginal problem

Gibbs measures

Categorical Probability

Bethe Free Energy

Belief Propagation

Interaction Decomposition

Chaos decomposition

Résumé

Replacer des constructions probabilistes et statistiques dans le cadre de la théorie des catégories est un moyen de les unifier et de les étendre tout en les rendant plus modulables pour des applications concrètes; c'est aussi une manière d'identifier ce qu'elles ont de topologique. La première partie de cette thèse est consacrée à l'étude du problème des marginales et à la description des mesures de Gibbs de systèmes statistiques. Ces problèmes peuvent être reformulés et étendus dans le cadre de la théorie des catégories, respectivement dans la catégorie des espaces mesurables et dans celles des noyaux de probabilité comme initiés par Giry dans "A categorical approach to probability theory". Nous n'avons pas connaissance de travaux antérieurs qui proposent une présentation catégorique des mesures de Gibbs; ce point de vue permet d'exhiber de grandes similarités entre le problème des marginales et la caractérisation des mesures de Gibbs, les deux ayant la même interprétation topologique. Une contribution importante au problème des marginales est le résultat de Kellerer, dans "Masstheoretische Marginalprobleme", pour le problème des marginales linéarisé qui repose sur une construction algébrique que Lauritzen nomme la décomposition en sous-espaces d'interaction dans son livre de référence "Graphical Models". Dans ce travail, nous étendons cette construction, extension que nous appellerons décomposition d'interaction, dans plusieurs directions ce qui permet d'obtenir de nouveaux résultats pour le problème des marginales et la caractérisation des mesures de Gibbs dans les contextes énoncés précédemment. Les décompositions d'interaction n'existent pas toujours, c'est pourquoi nous introduisons plusieurs conditions intrinsèques qui caractérisent leur existence: ce sont les propriétés d'intersection, nommées ainsi en référence à la propriété d'intersection pour les graphoïdes. Dans une autre direction on se propose, dans le même esprit que Yedidia, Freeman, Weiss dans "Constructing free-energy approximations and generalized belief propagation algorithms", de donner une procédure pour reconstruire des problèmes d'optimisation globaux à partir de problèmes locaux; nous appellerons cette procédure l'optimisation régionalisée en référence à leur généralisation de l'énergie libre de Bethe, les approximations de l'énergie libre basées sur des régions. Une application de l'étude de cette procédure est la formulation d'une Analyse en Composantes Principales adaptées à des données filtrées telles que les séries temporelles; une autre application est l'extension des approximations de l'énergie libre basées sur des régions de Yedidia, Freeman, Weiss aux collections de mesures de probabilités dont les règles de compatibilité sont données par un diagramme dans la catégorie des noyaux de probabilités. Nous pensons qu'une telle procédure trouvera de nombreuses applications concrètes notamment pour la modélisation des mouvements du ribosomes pendant la traduction de l'ARN messager mais aussi pour l'expression des émotions. Des propriétés de la décomposition d'interaction permettent de donner un algorithme très simple pour trouver les points critiques de la fonction de coût sous-jacente à l'optimisation régionalisée.

Replacing constructions and properties of probability theory and statistics in a categorical setting is a way to unify and extend them, making them more practical for concrete applications; it is also a way to identify their topological nature. In this dissertation we first focus on two problems in probability theory, the marginal problem and the description of Gibbs (probability) measures of statistical systems. These problems can be reformulated and extended in a categorical setting, respectively in the category of measurable spaces and the category of probability kernels as initiated by Giry in "A categorical approach to probability theory". We believe that it is the first time that a categorical presentation of Gibbs measures is attempted and doing so exhibits great similarities between the marginal problem and the characterization of Gibbs measures, in particular they both have the same topological interpretation. An important contributions to the marginal problem is Kellerer's result, in "Masstheoretische Marginalprobleme" for the linearized marginal problem and it relies on an algebraic construction called the decomposition into interaction subspaces in Lauritzen's reference book "Graphical Models". We extend this construction, that we will now call the interaction decomposition, in several directions which allows us to get new results for the marginal problem and for the characterization of Gibbs measures. Interaction decompositions do not always exist and several intrinsic conditions characterize their existence: we named them intersection properties in reference to the intersection property for graphoids. In an other direction we follow the spirit of the reference article by Yedidia, Freeman, Weiss "Constructing free-energy approximations and generalized belief propagation algorithms" and give a way to reconstruct a global optimization problem from local ones; we name this procedure the regionalized optimization as they called their generalization of the Bethe free energy, the region-based free energy approximations. As an application we formulate a version of the Principal Component Analysis adapted to filtered data such as time series and give an extension of the region-based free energy approximations proposed by Yedidia, Freeman, Weiss to collections of probability distribution that respect compatibility conditions given by a diagram in the category of probability kernels. We believe that such extensions will be of great use in applications, for example for modeling the movements of the ribosome during translation of messenger RNA or the expression of emotions. Results on the interaction decomposition allows us to give a simple algorithm for finding critical points of the cost function underlying regionalized optimization