Transport optimal entropique : applications dans le contexte de l'inversion de forme d'onde

Entropic unbalanced optimal transport : application to full-waveform Inversion and numerical illustration

• Auteur / Autrice : Miao Yu
• Direction : Jean-Pierre Vilotte, Jean-David Benamou
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences de la terre et de l'environnement
• Date : Soutenance le 17/12/2021
• Etablissement(s) : Université Paris Cité
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences de la terre et de l'environnement et physique de l'univers (Paris ; 2014-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : UMR-Institut de physique du globe de Paris (2005-....)
• Jury : Président / Présidente : Anne Mangeney
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Jean-Pierre Vilotte, Jean-David Benamou, Anne Mangeney, Ludovic Métivier, Hervé Chauris, Géraldine Pichot
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Ludovic Métivier, Hervé Chauris

Mots clés

Mots clés contrôlés

Optimisation mathématique

Distances de Wasserstein

Transport optimal de mesure

Mots clés libres

Inversion de formes d'onde

Transport optimal entropie

Divergence de Sinkhorn

Full-Waveform Inversion

Unbalanced Entropic Optimal Transport

Sinkhorn divergence

Résumé

Les méthodes de tomographie sismique visent à inférer les propriétés physique et reconstruite les structures de l'intérieur de la Terre à partir des ondes mécaniques - radiées par des sources naturelles ou anthropogéniques - enregistrées par des récepteurs en surface sous la forme de sismogrammes. Les méthodes d'inversion de formes d'onde ont été activement développées dans les contextes académiques et industriels et sont devenus des outils puissants pour améliorer l'estimation des propriétés physiques et des structures d'objets géologiques depuis les échelles globales jusqu'aux échelles locales de la géophysique d'exploration. Ces développements ont bénéficié de: nouvelles méthodes numériques pour la modélisation de la propagation du champ d'onde complet dans des milieux complexes et hétérogènes; de l'augmentation rapide des puissances et des capacités des technologies de calcul haute performance; du volume croissant et de la couverture des observations sismiques large bande. L'inversion de formes d'onde est formulée comme un problème d'optimisation non linéaire, associé à un système d'équations aux dérivées partielles. Il est classiquement résolu par des méthodes d'optimisation locale via la minimisation itérative d'une fonction coût qui mesure la différence entre les sismogrammes observés et synthétiques, et utilisent des méthodes d'état adjoint. Les méthodes d'état adjoint permettent le calcul des dérivées de la fonction coût par rapport aux paramètres du modèle en combinant le champ d'onde direct et un champ d'onde adjoint gouverné par un système d'équations adjointes et des conditions adjointes complémentaires. Les méthodes d'inversion de forme d'onde, qui inversent simultanément les courtes et grandes longueurs d'onde, souffrent malheureusement en pratique de difficultés qui restreignent leur utilisation pratique. Leurs capacités se détériorent du fait du déficit en basse fréquence des observations et d'un bon modèle initial. Des limitations qui sont associées à la nature mal posée du problème inverse qui peut facilement être piégé dans un minimum local. Plusieurs directions de recherche ont été proposés afin de réduire la non convexité et augmenter la flexibilité de ces méthodes, ainsi que diminuer leur dépendance vis à vis du modèle initiale. Un direction est de remplaces la fonction classique, basée sur une distance de type moindres carrés, par de nouvelles fonctions coûts, pouvant impliquer une transformation non linéaire du signal, afin de promouvoir la convexité et élargir le bassin d'attraction du minimum global. Cette thèse s'inscrit dans les récents développements visant à utiliser les distances de type transport optimal pour construire de nouvelles fonctions coûts ou de fidélité dans le context des problèmes inverses et de l'apprentissage machine. Ces fonctions coût sont interessantes en raison de leur nature lagrangienne et de leur convexité vis - vis de translations et de rotations pour des distributions de probabilités. Plus précisément, dans cette thèse nous utilisons et combinons dans le contexte d'inversion de formes d'onde - dans une approche académique - deux extensions récentes de transport optimal : une distance associée à un transport optimal non équilibré, qui permet de définir rigoureusement une distance dans l'espace des measures Radon positives, éliminant les problèmes de normalisation; une régularisation entropique du transport optimal, qui ne permet pas de définir une distance mais autorise une variante simple et facile à calculer appelée divergence de Sinkhorn, et qui fournit une bonne approximation de la distance 2-Wasserstein. La divergence de Sinkhorn peut naturellement être étendue au transport optimal non équilibré. Ces extensions récentes sont implémentés et discutées dabs le contexte de l'inversion de formes d'onde au travers d'examples académiques et de benchmarks classiques.

Seismic tomography aims at inferring physical properties and reconstructing quantitatively structures of the Earth interior from the mechanical waves -- radiated by natural and man-made seismic sources -- that are recorded at the surface by receivers in the form of seismograms. Over the past decades, full-waveform inversion (FWI) has been actively developed in both academia and industry, and has proven to be a powerful tool that dramatically improved the capability to estimate physical properties and structures of various geological targets from global to local scales. Recent developments take advantage of: the development of physical and numerical modelling methods for 3D full wavefield propagation in heterogeneous, complex media; the rapidly increasing high-performance computing capability and capacity; and the increasing amount and coverage of broadband seismic data. Full-waveform inversion (FWI) is formulated as a nonlinear, PDE-based optimisation problem that is classically solved by iterative minimisation of an objective function -- measuring the misfit between synthetic and observed seismic waveforms -- using adjoint-based solution methods. Adjoint-based solution methods allow the computation of the derivative of the objective function with respect to the model parameters by combining the synthetic forward wavefield and an adjoint wavefield governed by a set of adjoint equations and adjoint subsidiary conditions. In practice, however, solving Full-waveform WI problems using local, nonlinear optimisation methods is facing challenges that preclude routine use. Full-waveform inversion, inverting simultaneously long and short wavelengths information, deteriorate from the lack of low frequencies and good starting model, a limitation that is associated to the ill-posed nature of the inverse problem which can be easily trapped into a local minimum. Proposed research directions to reduce the non convexity and increase the flexibility of the FWI problem, and to make it less dependent on the initial model, are to replace classical least-squares based objectives by other other objective functions -- possibly involving nonlinear transformation of the seismic signal --to promote the convexity and to enlarge the basin of attraction of the global minimum. This thesis is part of a new trend in inverse problems and machine learning using optimal transport (OT) distances as misfit or fidelity functions. OT-based misfits are interesting because of their Lagrangian nature and convexity with respect to translations and dilations of a prescribed probability distributions. More specifically, In this thesis we use and combine -- from an academic point of view -- two recent extensions of OT in the context of FWI: an ``unbalanced'' OT distance, which rigorously defines a distance on the set of positive Radon measure thus bypassing the data normalisation issue; an entropic regularisation OT framework that does not define a distance by a simple and easy to compute variant called Sinkhorn divergence that provides a good approximation of the 2-Wasserstein distance. Sinkhorn divergence can be naturally extended to unbalanced OT. These recent OT extensions are implemented and discussed in the context of full-waveform inversion through a number of academic examples and classical benchmark problems.