Surfaces dans des variétés sous-riemanniennes de contact de dimension trois et contrôlabilité des EDO non linéaires

Surfaces in three-dimensional contact sub-Riemannian manifolds and controllability of nonlinear ODEs

• Auteur / Autrice : Daniele Cannarsa
• Direction : Davide Barilari, Ugo Boscain
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 30/09/2021
• Etablissement(s) : Université Paris Cité
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche (1997-....)
• Jury : Président / Présidente : André Ricardo Belotto Da Silva
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : André Ricardo Belotto Da Silva, Ludovic Rifford, Andrey Sarychev, Katrin Fässler
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Ludovic Rifford, Andrey Sarychev

Mots clés

Mots clés contrôlés

Groupe de Heisenberg

Processus gaussiens

Processus stochastiques

Géométrie de Riemann

Mots clés libres

Géométrie de contact

Variété sous-Riemanienne

Processus stochastique

Atteignabilité locale

Système de contrôle bilinéaire

Contrôlabilité approchée

Feuilletage

Espaces de longueur

Approximation riemanienne

Courbure de Gauss

Groupe d'Heisenberg

Contact geometry

Sub-Riemannian geometry

Stochastic process

Local controllability

Bilinear control systems

Approximate controllability

Foliations

Length space

Riemannian approximation

Gaussian curvature

Heisenberg group

Résumé

Les quatre chapitres de cette thèse contiennent des résultats originaux relatifs aux surfaces dans une variété sous-riemanienne de contact de dimension trois, et à certaines propriétés concernant la contrôlabilité en théorie géométrique du contrôle. Ils sont précédés par une introduction, qui donne un aperçu de ces résultats et de la littérature antérieure. Nous avons étudié le sujet des surfaces de deux points de vue. En premier lieu, étant donnée une surface dans une variété sous-riemannienne de contact de dimension trois, nous examinons la structure métrique induite sur la surface, au sens des espaces de longueur. Nous définissons un nouveau coefficient métrique en tout point caractéristique de la surface, et nous identifions des conditions globales pour que la distance induite soit finie. En particulier, nous montrons que la distance induite est finie pour des surfaces avec la topologie d'une sphère, plongées dans une distribution coorientable tendue, et avec des points caractéristiques isolés. En second lieu, nous étudions un nouveau processus stochastique sur des telles surfaces. Précisément, en utilisant l'approximation riemanienne par rapport au champ de Reeb de la structure sous-riemanienne, nous obtenons un opérateur différentiel d'ordre deux sur la surface résultant de la limite d'opérateurs de Laplace-Beltrami. Le processus stochastique associé avec cet opérateur se déplace le long du feuilletage caractéristique induit sur la surface par la distribution de contact. Pour ce processus stochastique nous montrons que les points caractéristiques elliptiques sont inaccessibles, tandis que les points caractéristiques hyperboliques sont accessibles à travers les séparatrices. Nous illustrons ce processus avec des exemples, et nous reconnaissons des processus stochastiques classiques qui apparaissent sur certaines surfaces plongées dans les espaces modèles de structure sous-riemanienne sur les groupes de Lie de dimension trois. Quant à la contrôlabilité, nous montrons qu'un système qui satisfait la propriété d'atteignabilité locale dans une variété connexe est contrôlable. Ci-dessus nous disons qu'un système de contrôle satisfait la propriété d'atteignabilité locale si les ensembles atteignables à partir de tout état sont un voisinage ouvert de l'état de départ, tandis qu'il est dit contrôlable si les ensembles atteignables à partir de tout état coïncident avec la variété entière. Etrangement, le fait que l'atteignabilité locale implique la contrôlabilité globale semble ne pas avoir été considéré dans la littérature, malgré l'apparente absence d'arguments élémentaires justifiants cette implication. Pour conclure, nous montrons qu'un système de contrôle bilinéaire est contrôlable de façon approchée si et seulement s'il est contrôlable en R^{n}\{0}. Nous étudions ce problème en analysant le feuilletage défini par les orbites du système, et en montrant qu'il n'existe pas de feuilletage de codimension un en R^{n}\{0} dont les feuilles sont denses et partout transversales à la direction radiale. L'approche géométrique ainsi proposée permet d'étendre ce résultat aux systèmes homogènes qui sont contrôlables angulairement.

The four chapters of this thesis present some original results about smooth surfaces in a 3-dimensional contact sub-Riemannian manifold, and properties involving controllability in geometric control theory. They are preceded by an introduction, which gives an overview of the results and the preceding literature. The topic of smooth surfaces is studied from two viewpoints. First, given a surface in a 3-dimensional contact sub-Riemannian manifold, we investigate the metric structure induced on the surface, in the sense of length spaces. We define a new metric coefficient at any characteristic point, which determines locally the characteristic foliation of the surface, and we identify some global conditions for the induced distance to be finite. In particular, we prove that the induced distance is finite for surfaces with the topology of a sphere embedded in a tight coorientable distribution, with isolated characteristic points. Second, we study a new canonical stochastic process on such surfaces. Precisely, employing the Riemannian approximation with respect to the Reeb vector field of the sub-Riemannian manifold, we obtain a second order partial differential operator on the surface arising as a limit of Laplace-Beltrami operators. The stochastic process associated with this limiting operator moves along the characteristic foliation induced on the surface by the contact distribution. For this stochastic process we show that elliptic characteristic points are inaccessible, while hyperbolic characteristic points are accessible from the separatrices. We illustrate this process with examples, and we recognise some well-known stochastic processes appearing on certain surfaces embedded in the canonical model spaces for sub-Riemannian structures on 3-dimensional Lie groups. Concerning controllability, we show that a control system on a connected manifold satisfying the local reachability property is controllable, as it was somehow implicitly expected. Herein we say that a control systems satisfies the local reachability property if the attainable sets from any initial state are a neighbourhood of the respective initial states, while a system is controllable if the attainable set from every state is the entire state manifold. Quite surprisingly, the question of whether local reachability implies controllability seems not to have been considered in the literature, despite the apparent absence of elementary arguments justifying the implication. Finally, we show that a bilinear control system is approximately controllable if and only if it is controllable in R^{n}\{0}. We approach this property by looking at the foliation made by the orbits of the system, and by showing that there does not exist a codimension-one foliation in R^{n}\{0} with dense leaves that are everywhere transversal to the radial direction. The proposed geometric approach allows to extend the result to homogeneous systems that are angularly controllable.