Estimation par projection pour des problèmes inverses sur des espaces de Laguerre et d'Hermite

Projection estimation for inverses problems on Laguerre and Hermite spaces

• Auteur / Autrice : Ousmane Bereke Sacko
• Direction : Fabienne Comte, Céline Duval
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 15/11/2021
• Etablissement(s) : Université Paris Cité
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : MAP5 - Mathématiques Appliquées à Paris 5
• Jury : Président / Présidente : Jan Johannes
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Jan Johannes, Cristina Butucea, Clément Marteau, Jérôme Dedecker, Jean-Michel Loubès, Thanh Mai Pham Ngoc
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Cristina Butucea, Clément Marteau

Mots clés

Mots clés contrôlés

Modèles mathématiques

Laguerre, Polynômes de

Problème inverse de diffusion

Estimation de paramètres

Mots clés libres

Estimation non paramétrique

Estimation par projection

Problème inverse

Base d'Hermite

Base de Laguerre

Sélection de modèles

Méthode de Goldenshluger et Lepski

Nonparmetric estimation

Projection estimation

Inverse problem

Hermite basis

Laguerre basis

Model selection

Goldenshluger and Lepski method

Résumé

Dans cette thèse, nous développons des procédures d'estimation non paramétrique pour divers problèmes inverses sur des espaces de Laguerre et d'Hermite. La première partie est consacrée à l'estimation des dérivées d'une fonction de densité en base de Laguerre et d'Hermite. La deuxième partie est dédiée à l'estimation d'une densité et d'une fonction de régression dans un modèle de convolution en base d'Hermite. Différentes méthodes d'estimation sont présentées: méthode de projection fondée sur un développement de la fonction d'intérêt (densité, dérivée d'une densité, fonction de régression) en base de Laguerre ou d'Hermite; mixte déconvolution-projection basée sur un développement en base d'Hermite et une transformation de Fourier inverse. Pour chacune de ces méthodes, nous établissons des bornes pour le risque quadratique. Pour des choix adéquats des paramètres (dimension de l'espace de projection ou cut-off), nous obtenons des vitesses de convergence de nos estimateurs. Ces paramètres dépendent cependant de quantités inconnues. Ainsi, nous proposons des procédures adaptatives pour les choisir de façon pertinente en s'inspirant des critères de sélection de modèles par pénalisation du type Birgé & Massart (1997) ou des méthodes de Goldenshluger & Lepski (2011) et nous démontrons des inégalités oracles non asymptotiques en utilisant les inégalités de concentration. Des études numériques et des comparaisons avec d'autres stratégies sont exposées pour illustrer les bonnes performances des méthodes proposées.

In this thesis, we develop non parametric estimation procedures for various inverse problems on Laguerre and Hermite classes. The first part is dedicated to the estimation of the derivatives of a density function in the Laguerre and Hermite basis. The second part is devoted to the estimation of a density function and a regression function in the Hermite basis in a convolution model. Different estimation methods are presented : projection method based on a development of the function of interest (density, derivative of a density, regression function) in the Laguerre or Hermite basis ; mixed deconvolution-projection based on a development in the Hermite basis and an inverse Fourier transformation. For each of these methods, we establish bounds for quadratic risk. For adequate choices of parameters (dimension of projection space or cut-off), we obtain rates of convergence of our estimators. However, theses parameters depend on unknown quantities. Thus, we propose adaptive procedures to select them in a relevant way inspired by model selection by penalization of Birgé and Massart (1997)'s type or Goldenshluger and Lepski (2011)'s methods criterions and we prove non-asymptotic oracle inequalities using concentration inequalities. Numerical studies and comparisons with other strategies are presented to illustrate the good performance of the proposed methods.