Géométries locales et asymptotique des groupes : immeubles et LG-rigidité, équivalences orbitale et mesurée

Local and asymptotic geometry of groups : buildings and LG-rigidity - measure and orbit equivalence

• Auteur / Autrice : Amandine Escalier
• Direction : Romain Tessera
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 01/10/2021
• Etablissement(s) : Université Paris Cité
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche (1997-....)
• Jury : Président / Présidente : Indira Lara Chatterji
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Indira Lara Chatterji, Uri Bader, Jean Lécureux, Alain Valette, Tianyi Zheng
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Uri Bader, Jean Lécureux

Mots clés

Mots clés contrôlés

Pavage (mathématiques)

Corps locaux (algèbre)

Rigidité (géométrie)

Mots clés libres

Graphe

Immeubles

Corps local

LG-rigidité

Équivalence orbitale

Équivalence mesurée

Couplage

Produits diagonaux

Profil isopérimétrique

Pavage

Suite de Følner

Approximations Sofiques

Graph

Building

Local field

LG-rigidity

Orbit equivalence

Measure equivalence

Couplings

Diagonal products

Isoperimetric profile

Tiling

Følner sequence

Sofic approximation

Résumé

Ce manuscrit présente les travaux de recherche effectués durant ma thèse sur les questions de rigidité Locale-Globale et les problèmes d'équivalence mesurée. Après une courte introduction, nous présentons dans la première partie les résultats obtenus sur la LG-rigidité et correspondant à l'article « Local-to-Global Rigidity of lattices in SLn(K) » (à paraître dans Annales de l'Institut Fourier). Un graphe transitif G est dit Locale-Globale rigide s'il existe R>0 tel que tout autre graphe dont les boules de rayon R sont isométriques aux boules de rayon R de G est revêtu par G. Un exemple de tel graphe est donné par l'immeuble de Bruhat-Tits de PSLn(K) lorsque n>3 et K est un corps local non-archimédien de caractéristique nulle. Dans cette première partie nous étendons cette propriété de rigidité à une nouvelle classe de graphes quasi-isométriques à l'immeuble parmi lesquels figurent les réseaux sans-torsion de SLn(K). La preuve est l'occasion de démontrer un résultat sur la structure locale des immeubles. Nous montrons que si l'on y considère une PSLn(K)-orbite donnée, alors un sommet est uniquement déterminé par les sommets voisins contenus dans cette orbite. Dans notre deuxième partie nous exposons les travaux (en cours) portant sur les équivalences orbitales et mesurées. On dit que deux groupes son torbite équivalents si tous deux admettent une action sur un même espace de probabilité qui partagent les mêmes orbites (à ensemble de mesure nulle près). Notamment, le théorème d'Ornstein et Weiss stipule que tout groupe infini moyennable est orbite équivalent aux groupes des entiers. Delabie, Koivisto, Le Maître et Tessera ont introduit une version quantitative de l'équivalence orbitale et de son pendant mesuré afin d'affiner cette relation au sein des groupes moyennables infinis. Ils obtiennent en outre des obstructions à l'existence de telles équivalences à l'aide du profil isopérimétrique. Dans cette partie nous proposons de répondre au problème inverse de la quantification (trouver un groupe qui est orbite ou mesure équivalent à un groupe prescrit avec quantification prescrite) dans le cas du groupe des entiers ou du groupe d'allumeur de réverbère. Pour ce faire nous nous basons sur les produits diagonaux introduits par Brieussel et Zheng fournissant des groupes à profil isopérimétrique prescrit.

This manuscript presents the research work carried out during my thesis concerning LG-rigidity problems and orbit equivalence questions. After a short general introduction, we expose in the first part of this manuscript the results obtained on LG-rigidity and corresponding to the article ''Local-to-Global Rigidity of lattices in SLn(K)'' (to appear in Annales de l'Institut Fourier). A vertex-transitive graph G is called Local-to-Global rigid if there exists R>0 such that every other graph whose balls of radius R are isometric to the balls of radius R in is covered by G. An example of such a graph is given by the Bruhat-Tits building of PSLn(K) with n>3 and K a non-Archimedean local field of characteristic zero. In this part we extend this rigidity property to a class of graphs quasi-isometric to the building including torsion-free lattices of SLn(K). The proof is the occasion to prove a result on the local structure of the building. We show that if we fix a PSLn(K)-orbit in it, then a vertex is uniquely determined by the neighbouring vertices in this orbit. The second part presents (ongoing) work on orbit and measure equivalence. We say that two groups are orbit equivalent if they both admit an action on a same probability space that share the same orbits (up to a set of measure zero). In particular the Ornstein-Weiss theorem implies that all infinite amenable groups are orbit equivalent to the group of integers. Delabie, Koivisto, Le Maître and Tessera introduced a quantitative version of orbit equivalence and its measured couterpart to refine this notion between infinite amenable groups. They furthermore obtain obstructions to the existence of such equivalences using the isoperimetric profile. In this part we offer to answer the inverse problem (find a group being orbit or measure equivalent to a prescribed group with prescribed quantification) in the case of the group of integers or of the lamplighter group. To do so we use the diagonal products introduced by Brieussel and Zheng giving groups with prescribed isoperimetric profile