Théorie des types dépendants et algèbre de dimension supérieure

From dependent type theory to higher algebraic structures

• Auteur / Autrice : Chaitanya Leena Subramaniam
• Direction : Paul-André Melliès
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance le 28/09/2021
• Etablissement(s) : Université Paris Cité
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de recherche en informatique fondamentale (Paris ; 2016-....)
• Jury : Président / Présidente : Muriel Livernet
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Paul-André Melliès, Muriel Livernet, Michael Shulman, Carlos Simpson, Tom Hirschowitz, Samuel Mimram, Emily Riehl, Thomas Streicher, Gilles Dowek
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Michael Shulman, Carlos Simpson

Mots clés

Mots clés contrôlés

Théorie des types

Homotopie

Catégories (mathématiques)

Mots clés libres

Théories algébriques

Catégories supérieures

Théorie de l'homotopie

Théorie des types dépendants

Algebraic theories

Higher categories

Homotopy theory

Dependent type theory

Résumé

Dans la première partie de cette thèse, nous donnons une définition de ''théorie algébrique à sortes dépendantes'' qui généralise les théories algébriques ''ordinaires'' de Lawvere-Bénabou. Les théories algébriques à sortes dépendantes, en notre sens, forment une sous-classe stricte des ''théories algébriques généralisées'' de Cartmell. Nous montrons un théorème de classification des théories algébriques à sortes dépendantes, et nous utilisons ce théorème pour montrer l'existence de plusieurs de ces théories --- parmi elles, les théories des petites catégories, des n-catégories, des omega-catégories strictes et faibles, des opérades planaires colorées, et des ensembles opétopiques. Nous étudions le cas opétopique en détail. Nous montrons également une équivalence de Morita entre les théories algébriques à sortes dépendantes et les ''théories essentiellement algébriques'', et concluons que chaque catégorie localement finiment présentable admet une description comme catégorie des modèles d'une théorie algébriques à sortes dépendantes. Nous donnons également une définition des modèles ''homotopiques'' strictes et faibles d'une théorie algébriques à sortes dépendantes, et nous montrons un théorème de rigidification dans un cas particulier. La deuxième partie de cette dissertation concerne les localisations refléctives accessibles des infini-catégories localement présentables. Nous donnons une définition de ''pré-modulateur'' et montrons une correspondance entre les pré-modulateurs et les systèmes de factorisations accessibles sur une infini-catégorie localement présentable. Nous montrons également que chaque tel système de factorisation est engendré à partir d'un pré-modulateur par itération transfinie d'une ''construction plus''. Nous donnons les définitions de ''modulateur'' et ''modulateur exact à gauche'' et montrons une correspondance avec les modalités et les modalités exactes à gauche respectivement.

In the first part of this dissertation, we give a definition of ''dependently sorted algebraic theory'', generalising the ''ordinary'' algebraic theories of Lawvere-Bénabou. Dependently sorted algebraic theories in our sense form a strict subclass of the ''generalised algebraic theories'' of Cartmell. We prove a classification theorem for dependently sorted algebraic theories, and use this theorem to prove the existence of dependently sorted algebraic theories for a number of varieties of algebraic structures, such as small categories, n-categories, strict and weak omega-categories, planar coloured operads and opetopic sets. We also prove a Morita equivalence between dependently sorted algebraic theories and essentially algebraic theories, showing that every locally finitely presentable category is the category of models of some dependently sorted algebraic theory. We give a definition of strict and weak homotopical models of a dependently sorted algebraic theory, and prove a rigidification theorem in a particular case. We also study the opetopic case in detail, and prove that a number of varieties of algebraic structure such as small categories and coloured planar operads can be ''sorted'' by the category of opetopes. The second part of this dissertation concerns accessible reflective localisations of locally presentable infinity-categories. We give a definition of ''pre-modulator'', and prove a canonical correspondence between pre-modulators and accessible orthogonal factorisation systems on a locally presentable infinity-category. Moreover, we show that every such factorisation system can be generated from a pre-modulator by a transfinite iteration of a ''plus-construction''. We give definitions of ''modulator'' and ''left exact modulator'', and prove that they correspond to those factorisation systems that are modalities and left-exact modalities respectively. Finally we obtain a correspondence between left-exact localisations of infinity-topoi and left-exact modulators.