Discoides et extensions de valuations

Diskoids and extensions of valuations

• Auteur / Autrice : Andrei Bengus-Lasnier
• Direction : Hussein Mourtada
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 23/07/2021
• Etablissement(s) : Université Paris Cité
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de recherche en informatique fondamentale (Paris ; 2016-....)
• Jury : Président / Présidente : Mark Spivakovsky
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Hussein Mourtada, Mark Spivakovsky, Michel Vaquié, Franz-Viktor Kuhlmann, Steven Dale Cutkosky, Evelia García Barroso, Bernard Teissier
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Michel Vaquié, Franz-Viktor Kuhlmann

Mots clés

Mots clés contrôlés

Galois, Théorie de

Polynômes

Valuations, Théorie des

Mots clés libres

Polynômes clefs

Paires Minimales

Discoides

Key polynomials

Minimal Pairs

Diskoids

Résumé

Cette thèse est consacrée à l'étude des extensions d'une valuation v sur un corps K à l'anneau des polynômes à une variable K[X]. Notre objectif est de mettre en place une interprétation géométrique d'une large classe de telles extensions, dites extensions transcendantes. Nous commençons par revoir les concepts fondamentaux de polynômes clefs abstraits et de paires minimales. Nous élargissons la correspondance entre ces derniers, établie par Novacoski en mettons en relation les valuations engendrées par chacun de ces objets. Nous en montrons par ailleurs quelques applications directes de ce procédé d'extension. Nous pouvons alors, dans un deuxième temps, donner une interprétation géométrique des valuations données par ces paires minimales et polynômes clefs. Pour ce faire nous employons un objet appelé discoïde, qui est une généralisation du concept de boule dans un corps valué non-archimédien.

This thesis is dedicated to the study of extensions of a valuation v on K to the ring of polynomials in one variable K[X]. Our objective is to give a geometric interpretation to a large class of these extensions, called valuation transcendental valuations. We start by reviewing the fundamental concepts of abstract key polynomials and minimal pairs. We build on the correspondence between them, established by Novacoski and show how to relate the valuations generated by each of these two objects. We illustrate this process by giving some direct applications. We can then give a geometric interpretation of valuations built from key polynomials and minimal pairs. To do so we employ an object called diskoid, which is a generalisation of the classical concept of ball in non-archimedian valued fields.