Mélange pour les équations primitives stochastiques soumises à un bruit aléatoire borné

Mixing for the stochastic primitive equations under a random bounded noise

• Auteur / Autrice : Pierre-Marie Boulvard
• Direction : Sergej B. Kuksin
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 17/05/2021
• Etablissement(s) : Université Paris Cité
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche (1997-....)
• Jury : Président / Présidente : Isabelle Gallagher
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Sergej B. Kuksin, Isabelle Gallagher, Madalina Petcu, Edriss Titi, Raphaël Lefévère, Arnaud Debussche, David Gérard-Varet, Freddy Bouchet
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Madalina Petcu, Edriss Titi

Mots clés

Mots clés contrôlés

Océanographie

Météorologie

Bruit aléatoire, Théorie du

Équations aux dérivées partielles stochastiques

Mots clés libres

Équations primitives

Mélange

Primitive equations

Mixing

Stochastic partial differential equations

Résumé

Ce travail est consacré à l'étude des équations primitives de la météorologie et de l'océanologie, en trois dimensions, excitée par une force aléatoire bornée et suffisamment régulière exprimée sur la base de Haar. Pour commencer on analyse le comportement des solutions trajectoire par trajectoire. En utilisant certains résultats déterministes déjà connus, on établit que dans un espace fonctionnel approprié, il existe un ouvert stable et, pour toutes les solutions correspondant à toutes les réalisations de la force aléatoire, absorbant; puis, on étudie les propriétés de l'opérateur résolvant quand les valeurs initiales sont dans cet ensemble. On applique ensuite ces résultats pour l'étude de nos solutions considérées désormais comme des processus aléatoires dans l'espace fonctionnel. Tout d'abord, on considèrera le cas où la force extérieure est non-dégénérée, c'est à dire quand le système est excité sur tous les modes de Fourrier (en espace) et on prouvera grâce à certains résultats et méthodes nouveaux que les solutions définissent alors un système mélangeant dans l'espace fonctionnel. On en déduira que pour toute valeur initiale donnée au problème, sa solution vérifie la loi des grands nombres et le théorème central limite. Ensuite, on élargira les conditions sur la forme de la force aléatoire en supposant que seul un nombre suffisant mais faible de modes de Fourrier sont excités. Dans ce cas on établira en utilisant des techniques récentes de contrôlabilité des équations aux dérivées partielles le caractère mélangeant des équations primitives soumises à un cette forme de bruit dégénérée.

The thesis is dedicated to a study of the three-dimensional primitive equations of meteorology and oceanology with a sufficiently smooth bounded random force, given by a random Haar series. We start by analyzing the behaviour of the solutions for the equations trajectory-wise. We derive from some known deterministic results that, when considered in a suitable functional space, the equations possess there an open set, invariant and absorbing for each realization of the random force, and examine the properties of the resolution operator with initial data in this set. Then we apply the obtained results to study the solutions for the equations, regarded as random processes in the function space. Firstly we assume that the random force is non-degenerate in the sense that all its Fourier modes (in space) are excited, and use some recent results and approaches to prove that the solutions define a mixing process in the function space. We derive from this that for any fixed initial data a solution satisfies the strong law of large numbers and the central limit theorem. Next, we relax the assumption on the random force and assume that only a suitable finite system of its Fourier modes is excited. Evoking in addition to the above some recent technique on controllability for nonlinear PDEs, we establish in this case similar results.