Homologie des ω-catégories strictes

Homology of strict ω-categories

• Auteur / Autrice : Léonard Guetta
• Direction : François Métayer, Clemens Berger
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 28/01/2021
• Etablissement(s) : Université Paris Cité
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de recherche en informatique fondamentale (Paris ; 2016-....)
• Jury : Président / Présidente : Carlos Simpson
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Eugenia Cheng, Samuel Mimram, Georges Maltsiniotis, Dimitri Ara
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Benoit Fresse, Richard Garner

Mots clés

Mots clés contrôlés

K-théorie

Homotopie

Homologie

Mots clés libres

Ω-catégories

Catégories supérieures

Polygraphes

Ω-catégories

Higher categories

Polygraphs

Résumé

Dans cette thèse, on compare l'homologie « classique » d'une ω-catégorie (définie comme l'homologie de son nerf de Street) avec son homologie polygraphique. Plus précisément, on prouve que les deux homologies ne coïncident pas en général et qualifions d'homologiquement cohérente les ω-catégories particulières pour lesquelles l'homologie polygraphique coïncide effectivement avec l'homologie du nerf. Le but poursuivi est de trouver des critères abstraits et concrets permettant de détecter les ω-catégories homologiquement cohérentes. Par exemple, on démontre que toutes les (petites) catégories, que l'on considère comme des ω-catégories strictes dont toutes les cellules au-delà de la dimension1 sont des unités, sont homologiquement cohérentes. On introduit également la notion de 2-catégorie sans bulles et on conjecture qu'une2-catégorie cofibrante est homologiquement cohérente si et seulement si elle est sans bulles. On démontre également des résultats importants concernant les ω-catégories strictes qui sont libres sur un polygraphique, comme le fait que si F : C → D est un ω-foncteur de Conduché discret etsi D est libre sur un polygraphe alors C l'est aussi. Dans son ensemble,cette thèse établit un cadre général dans lequel étudier l'homologie des ω-catégories en faisant appels à des outils d'algèbre homotopique abstraite, tels que la théorie des catégorie de modèles de Quillen ou la théorie des dérivateurs de Grothendieck

In this dissertation, we compare the ``classical'' homology of an ω-category (defined as the homology of its Street nerve) with its polygraphic homology. More precisely, we prove that both homologies generally do not coincide and call homologically coherent the particular strict ω-categories for which polygraphic homology and homology of the nerve do coincide. The goal pursued is to find abstract and concrete criteria to detect homologically coherent ω-categories. For example, we prove that all (small) categories, considered as strict ω-categories with unit cells above dimension 1, are homologically coherent. We also introduce the notion of bubble-free 2-category and conjecture that a cofibrant 2-category is homologically coherent if and only if it is bubble-free. We also prove important results concerning free strict ω-categories on polygraphs (also known as computads), such as the fact that if F : C → D is a discrete Conduché ω-functor and D is a free strict ω-category on a polygraph, then so is C Overall, this thesis achieves to build a general framework in which to study the homology of strict ω-categories using tools of abstract homotopical algebra such as Quillen's theory of model categories or Grothendieck's theory of derivators