Algèbres et vecteurs hypercycliques

Hypercyclic vectors and algebras

• Auteur / Autrice : Fernando Vieira Costa Junior
• Direction : Frédéric Bayart
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 27/05/2021
• Etablissement(s) : Université Clermont Auvergne (2021-...)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale des sciences fondamentales (Clermont-Ferrand)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques Blaise Pascal
• Jury : Président / Présidente : Karl-Goswin Grosse-Erdmann
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Sophie Grivaux, Yulia Kuznetsova, Yanick Heurteaux, Christoph Kriegler
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Evgueni Abakoumov, Juan Bès

Mots clés

Mots clés contrôlés

Espaces vectoriels topologiques

Mots clés libres

Hypercyclicité

Algèbres hypercycliques

Dynamique linéaire

Chaos

Hypercyclicité fréquente

Hypercyclicité supérieurement fréquente

Hypercyclicité simultanée

Hypercyclicity

Hypercyclic algebras

Linear dynamics

Chaos

Frequent hypercyclicity

Upper frequent hypercyclicity

Disjoint hypercyclicity

Common hypercyclicity

Résumé

Ce travail contribue à la théorie de l'hypercyclicité et à des concepts liés. Nous nous sommes principalement intéressés à des algèbres de vecteurs hypercycliques pour opérateurs agissant sur une algèbre de Fréchet de suites, bien que quelques contributions portent sur l'existence d'un seul vecteur. Nous avons amélioré un critère de Baire pour l'existence d'une algèbre hypercyclique, ce qui permet maintenant de considérer des algèbres de vecteurs hypercycliques qui ne sont pas finiment générées. Des variantes de ce critère s'appliquent à d'autres concepts relatifs comme l'hypercyclicité supérieurement fréquente, disjointe et simultanée. Nous fournissons de nouveaux critères d'existence d'algèbres de vecteurs satisfaisant ces propriétés (sauf le vecteur 0) pour les opérateurs de décalage à gauche pondérés agissant sur des espaces de suites classiques munis soit du produit de convolution, soit du produit coordonnée par coordonnée. En particulier pour l'hypercyclicité simultanée, nous fournissons des critères d'existence de vecteurs et d'algèbres hypercycliques communs dans le cas où l'ensemble de paramètres n'est pas unidimensionnel. Nous explorons aussi le problème d'existence des algèbres hypercycliques fermées dont nous avons montré l'inexistence même pour des opérateurs et des espaces classiques.

This work contributes to the theory of hypercyclicity and related concepts. We are main focused on algebras of hypercyclic vectors for operators acting on Fréchet sequence algebras, although some contributions were made concerning the existence of single vectors. We have improved a Baire criterion for the existence of hypercyclic algebras which now grants algebras of hypercyclic vectors that are not finitely generated. Variations of this main criterion apply to some related concepts such as upper frequent, disjoint and common hypercyclicity. We provide criteria for the existence of algebras of vectors satisfying these properties (except for the 0 vector) for weighted backward shifts on classical sequence spaces equipped either with the Cauchy product or with the coordinatewise product. In particular for common hypercyclicity, we provide criteria for the existence of common hypercyclic vectors and algebras when the parameter set is not one-dimensional. We also explore the problem of closed hypercyclic algebras and provide counterproofs even for classical operators and spaces.\\