Étude numérique des systèmes Davey-Stewartson I

Numerical Study of Davey- Stewartson I systems

• Auteur / Autrice : Umar Dauda Muhammad
• Direction : Christian Klein
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 13/12/2021
• Etablissement(s) : Bourgogne Franche-Comté
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Carnot-Pasteur (Besançon ; Dijon ; 2012-....)
• Partenaire(s) de recherche : Etablissement de préparation : Université de Bourgogne (1970-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de Mathématiques de Bourgogne (IMB) (Dijon)
• Jury : Président / Présidente : Jean-Claude Saut
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Nikola Stoilov, Mariana Hărăguş
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Cristof Sparber, Katharina Schratz

Mots clés

Mots clés contrôlés

Fourier, Séries de

Équations dispersives non linéaires

Mots clés libres

Équation des ondes dispersives nonlinéaires

Équations de Davey-Stewartson

Les solutions de Dromion

Solution d'explosion

Approches numériques

Méthode spectrale de Fourier

Nonlinear dispersive equations

Davey-Stewartson equations

Dromion solutions

Blow-Up solution

Numerical Approaches

Fourier spectral method

Résumé

Dans cette thèse, nous discutons, numériquement, les problèmes d’explosions, une perte de régularité d’une solution de certaines EDP par rapport à la donnée initiale, pour des équations dispersives non linéaires. L’explosion est un phénomène qui peut apparaître dans le contexte d’équations nonlinéaires d’évolution telles que l’équation de Burgerssans viscosité, indiquant une existence finie en temps de leurs solutions ou un collapse catastrophique du système dynamique sous-jacent dans la modélisation de situations réalistes. C’est-à-dire qu’il existe un t_∗ < ∞ tel que pour t → t_∗ certaines normes de la solution, comme les normes ‖·‖_q for 1 ≤ q ≤ ∞ divergent. Comme des explosions peuvent apparaître pour un grand nombre d’équations d’évolution, elles sont intéressantes d’un point de vue mathématique et physique, de savoir pourquoi, de quelle manière et avec quel profile l’explosion se produit. Quelques équations dispersives non linéaires avec une non-linéarité polynomiale, telle que les familles d’équations de Schrödinger non-linéaires(NLS), de Davey-Stewartson (DS), peuvent avoir des solutions avec une explosion en temps fini. Les équations NLS font partie des EDP dispersives non linéaires importantes dans des applications telles que l’optique non linéaire, les ondes d’eau e.t.c. Cependant, une explosion pour NLS peut apparaître en fonction de la puissance de la non-linéarité pour des données initiales particulières. Il s’avère que l’étude du type de l’explosion pour des équations NLS est difficile sans méthodes numériques robustes avec une amélioration dynamique de la résolution proche de l’explosion. Par un changement dynamique d’échelles des équations NLS, on étudie les propriétés d’explosion de solutions avec des simulations numériques. La méthode de changement d’échelles dynamique nous permet de faire des simulations numériques près d’une singularité aussi précises que possibles. L’idée de base de ce changement d’échelles consiste à exploiter une symétrie exacte de NLS avec un changement simultané de l’espace, du temps et de la solution, mais avec un facteur dépendant du temps. Cela permet d’étudier une explosion auto-similaire avec un schéma allouant automatiquement la résolution numérique si nécessaire. Pour les équations NLS, nous présentons des résultats numériques concernant la structure de l’explosion dans dimension deux et plus dans une situation avec symétrie radiale. Parce que le système DS est une généralisation en deux dimensions de l’équation NLS, des études d’explosion similaires peuvent être effectuées. Notre intérêt principal est le soi-disant système DS I qui peut être vu comme une équation NLS non locale. Nous présentons une approche de haute précision pour traiter numériquement les anti-dérives de cette équation. Cette approche est hybride et utilise une régularisation analytique du symbole de Fourier singulier pour ces anti-dérivés pour des solutions de la classe de Schwartz. Une méthode spectrale de Fourier est appliquée au résiduel menant à une précision spectrale, c’est-à-dire une diminution exponentielle d’erreurs. Avec ce code, nous étudions la structure d’explosion des solutions pour Davey-Stewartson (DS) I intégrablepour des conditions aux limites triviales à l’infini avec les données initiales de la classe de Schwartz. Les solutions stationnaires localisées sont construites et montrées d’être instables par rapport à la dispersion et l’explosion. Une explosion en temps fini des données initiales de la classe de Schwartz est discutée.

In this thesis, we discuss, numerically, the issues of blow-up, a loss of regularity of a solution to some PDE with respect to the initial data, for non-linear dispersive equations. Blow-up is a phenomenon that can exist in the context of non-linear evolution equations such as the inviscid Burgers equation, indicating a finite time existence of their solutions or acatastrophic break down of the underlying dynamical system in modeling realistic situations. That is to say, there exists some T_∗ < ∞ such that for t → T_∗ certain norms of the solution, like the norms ‖·‖_q for 1 ≤ q ≤ ∞, diverge. Due to its potential to appear in various evolution equations, it becomes an interesting phenomenon from a mathematicaland physical point of view to know why, at which rate and with which profile the blow-upoccurs. Some non-linear dispersive equations, having a power nonlinearity, such as families of non-linear Schrödinger equations e.g. NLS equations, Davey-Stewartson systems e.t.c., can have solutions with a finite time blow-up. NLS equations are among the important non-linear dispersive equations in applications such as non-linear optics, water-waves e.t.c., however, blow-up (also referred to as wave-collapse in the NLS context) may or can appear depending on the power of the nonlinearity, particular initial data e.t.c. It turns out that exploring the blow-up structurefor the NLS equations seems difficult without a robust numerical method that provides an improved refinement of the resolution near blow-up. By a dynamical rescaling approach to the NLS equations, one studies the blow-up properties of solutions near collapse with numerical simulations. The method of dynamic rescaling allows us to do numerical simulations near a singularity as accurate as possible. The basic idea of the dynamicrescaling is to exploit an exact symmetry of the NLS equations under a simultaneous rescaling of space, time and the solution, but with a time-dependent factor. This allows to study a self-similar blow-up with a scheme automatically allocating numerical resolution where needed. For the NLS equations, we present numerical results regarding the structure of blow-up in dimension two and higher in a radially symmetric setting. Because the DS system is a generalisation of the two dimensional NLS equation, similar blow-up studies can be carried out. Our principal interest is the so-called DS I system which can be seen as a nonlocal NLS equation. We present a high-accuracy approach to numerically treat the anti-derivatives in this equation. This approach is hybrid and uses an analytic regularization of the singular Fourier symbol for these anti-derivatives for Schwartz class solutions. A Fourier spectral method is applied to the residual leading tospectral accuracy, i.e. an exponential decrease of errors. We generate a code and investigate the blow-up (singularity) structure of solutions to the integrable Davey-stewartson (DS) I system for trivial boundary conditions at infinity with Schwartz class initial data. Localizedstationary solutions are constructed and shown to be unstable against dispersion and blow-up. A finite-time blow-up of initial data in the Schwartz class of smooth rapidly decreasing functions is discussed.