Invariants algébriques et topologiques des catégories de fusion

Algebraic and topological invariants of fusion categories

• Auteur / Autrice : Ajinkya Kulkarni
• Direction : Peter Schauenburg
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 04/02/2021
• Etablissement(s) : Bourgogne Franche-Comté
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Carnot-Pasteur (Besançon ; Dijon ; 2012-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de Mathématiques de Bourgogne (IMB) (Dijon)
• Partenaire(s) de recherche : Etablissement de préparation : Université de Bourgogne (1970-....)
• Jury : Président / Présidente : Kenji Iohara
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Kenji Iohara, Ehud Mei, Julia Plavnik, Ingo Runkel
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Ehud Mei, Julia Plavnik

Mots clés

Mots clés contrôlés

Hopf, Algèbres de

Groupes quantiques

Mots clés libres

Groupes quantiques

Algèbres de Hopf

Théorie des catégories

Hopf algebras

Category theory

Quantum groups

Résumé

Nous étudions les invariants des catégories de fusion provenant de groupes finis. Dans la première partie de cette thèse, nous introduisons un invariant topologique appelé le tenseur B, afin de distinguer certaines catégories de fusion modulaire qui ne se distinguent pas par leurs données modulaires. Nous montrons que le tenseur B et la matrice T sont suffisants pour distinguer les doubles tordus de Drinfeld de groupes dont l´ordre est impair et sans facteur carré. Dans la deuxième partie, nous introduisons une théorie des caractères pour les objets dans les catégories de fusion théoriques de groupe (GTC), et l'utilisons pour calculer les anneaux de fusion de GTC ayant dimensions inférieures à 21. Nous trouvons qu'il y a 34 anneaux de fusion non pointées provenant de GTC de dimension inférieure à 21, dont 26 sont monogènes et seulement 3 ne sont pas des hyperrings. Dans la foulée, nous obtenons des limites inférieures faibles pour les catégorifications non-équivalentes de chacun des anneaux de fusion non pointées. En outre, nous trouvons plusieurs exemples de GTC dans la meme classe de Morita qui ont le même anneau de fusion mais ont des indicateurs Frobenius-Schur distincts, y compris un cas où les deux GTC sont pointées. Cela réfute une conjecture de H. Tucker.

We study invariants of fusion categories coming from finite groups. In the first part of this thesis, we introduce a topological invariant called the B-tensor, in order to distinguish certain modular fusion categories that are not distinguished by their modular data. We show that the B-tensor and the T-matrix are sufficient to distinguish twisted Drinfeld doubles of square-free groups of odd order. In the second part, we introduce a character theory for objects in group-theoretical fusion categories (GTCs) and use it to compute fusion rings of GTCs of dimensions less than 21. We find that there are 34 non-pointed fusion rings coming from GTCs of dimension less than 21, of which 26 are singly generated and only 3 are non-hyperrings. In the process, we obtain weak lower bounds for non-equivalent categorifications of each of thes non-pointed fusion rings. Further, we find several examples of Morita equivalent GTCs which have the same fusion ring but have distinct Frobenius-Schur indicators, including one case where both the GTCs are pointed. This refutes a conjecture of H. Tucker.