Premier temps de passage pour une diffusion

First hitting time for a diffusion

• Auteur / Autrice : Nicolas Massin
• Direction : Samuel Herrmann
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 18/03/2021
• Etablissement(s) : Bourgogne Franche-Comté
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Carnot-Pasteur (Besançon ; Dijon ; 2012-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de Mathématiques de Bourgogne [Dijon] / IMB
• Partenaire(s) de recherche : Etablissement de préparation : Université de Bourgogne (1970-....)
• Jury : Président / Présidente : Antoine Lejay
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Yoann Offret, Emmanuel Gobet, Laura Sacerdote, Laure Coutin, Madalina Deaconu
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Antoine Lejay, Benoîte de Saporta

Mots clés

Mots clés contrôlés

Mouvement brownien

Markov, Processus de

Algorithmes

Mots clés libres

Temps d'atteinte

Processus markoviens

Algorithmes

Algorithms

Hitting time

Markovian processes

Résumé

Dans ce mémoire de thèse, nous nous penchons sur la simulation du premier temps de passage pour des diffusions unidimensionnelles.Dans le premier chapitre, nous présentons les méthodes utilisées jusqu'ici afin de simuler de telles variables aléatoires. L'algorithme WOMS est particulièrement mis en lumière, un algorithme qui permet de générer une approximation du temps nécesaire au mouvement brownien unidimensionnel pour sortir d'un intervalle donné.Dans un second et troisième chapitre, nous expliquons par quel moyen cet algorithme peut être modifié pour s'adapter aux diffusions entretenant un lien fort avec le mouvement brownien. C'est le cas des processus d'Ornstein-Uhlenbeck. Mais nous élargissons notre champ de vision à de plus grandes classes de diffusions : les diffusions de classe L.Enfin dans le quatrième et dernier chapitre, nous nous intéressons aux problèmes de simulation exacte du premier temps de passage au dessus d'un niveau donné. Cette étude concerne des diffusions à sauts et repose en grande partie sur la transformation de Girsanov.

In this thesis, we focus our attention on the generation of the first exit time or the first passage time for diffusions in a one-dimensional context.In the first chapter, we present already well-known methods in order to generate such random variables. We particularly introduce the WOMS algorithm. This algorithm permits the generation of an approximation of the time needed by the Brownian motion in order to exit from a given interval.In the second and third chapters, we explain how to extend the previous algorithm in order to deal with diffusions strongly linked to the one-dimensional Brownian motion. We first consider the Ornstein-Uhlenbeck process, and then we consider a wide class of diffusions called the L-class diffusions.In the fourth and last chapter, we study the generation of the first passage time through a given level for jump diffusions. This part of the study is based on the so-called exact simulation methods and also on the famous Girsanov's formula.