Stabilisation et contrôle de quelques systèmes hyperboliques

Stabilization and control of some hyperbolic systems

• Auteur / Autrice : Yacine Mokhtari
• Direction : Farid Ammar-Khodja, Ammar Khemmoudj
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 08/07/2021
• Etablissement(s) : Bourgogne Franche-Comté en cotutelle avec Université des Sciences et de la Technologie Houari-Boumediène (Algérie)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Carnot-Pasteur (Besançon ; Dijon ; 2012-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques de Besançon (Besançon) - Laboratoire de Mathématiques de Besançon / LMB
• Partenaire(s) de recherche : Etablissement de préparation : Université de Franche-Comté (1971-2024)
• Jury : Président / Présidente : Arnaud Diego Münch
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Mohamed Medjden, Jean-Michel Coron, Abbes Benaissa
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Franck Boyer, Kaïs Ammari

Mots clés

Mots clés contrôlés

Commande, Théorie de la

Mots clés libres

Non-Autonome

Stabilisation

Hyperbolique

Contrôle

Domaines non-Cylindriques

Nonautonomous

Hyperbolic

Control

Non-Cylindrical domains

Résumé

Cette thèse est consacrée à l’étude de deux problèmes issus de la théorie du contrôle des EDP. Dans un premier temps, on étudie le comportement asymptotique de la solution du système de von Kàrmàn viscoélastique unidimensionnel avec retard. On montre que ce dernier est bien posé dans un espace fonctionnel convenable en utilisant la méthode de Faedo-Galerkin. Pour établir notre résultat de stabilité, on utilise la méthode de Lyapunov en construisant une fonctionnelle adéquate. Dans un deuxième temps, on étudie le problème de la contrôlabilité et de la stabilisation par le bord pour l’équation des ondes unidimensionnelle dans un domaine non cylindrique. Pour la contrôlabilité, on utilise la méthode des caractéristiques pour construire l’unique solution du problème. Nous sommes alors capables de donner l’expression explicite du contrôle pour lequel le système atteint le point d’équilibre après un certain temps. De plus, on montre que ce temps est optimal. Pour la stabilisation, nous fournissons une condition nécessaire et suffisante pour que l’énergie du système décroisse à un taux prédéterminé. De plus, l’influence de la géométrie du domaine et l’influence d’un amortisseur dépendant du temps sont clarifiées. Dans un troisième temps, on étudie la contrôlabilité par le bord de deux ´équations d’ondes couplées par un couplage d’ordre un avec coefficients qui dépendent de l’espace et du temps. On fournit une condition nécessaire et suffisante pour la contrôlabilité exacte en haute fréquences dansle cas général et pour la continuation unique dans le cas cascade.

This thesis is devoted to the study of two problems related to the theory of control of PDE.In a first time, we study the asymptotic behavior of the solution to the one-dimensional viscoelastic von Kàrmàn system with delay. We prove that the latter system is well-posed in a suitable functional space using the Faedo-Galerkin method. To establish our stability result, we employ the Lyapunov method by using a suitable candidate functional.In a second time, we study the problem of boundary controllability and stabilization for the one-dimensional wave equation in non-cylindrical domains. For the controllability, one uses the characteristics method to build the unique solution. We will then be able to give the explicit expression of the controls for which the system reaches the equilibrium point after a certain time. Moreover, we show that this time is optimal.For the stabilization, we provide a necessary and sufficient condition that guarantees the energy decay at any desired rate. In addition, the influences of the domain geometry and time-dependent feedback are clarified. In a third time, we study the boundary controllability of two coupled one-dimensional wave equations with first-order coupling terms with coefficients depending on space and time. We give a necessary and sufficient conditions for both exact controllability in high frequency in the general case and for the unique continuation in the cascade case.