Méthodes de calcul rigoureuses pour comprendre le comportement statistique des systèmes dynamiques aléatoires

Rigorous computational methods for understanding the statistical behavior of random dynamical systems

• Auteur / Autrice : Luigi Marangio
• Direction : Christophe Guyeux, Stefano Galatolo
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance le 27/04/2021
• Etablissement(s) : Bourgogne Franche-Comté en cotutelle avec Università degli studi (Pise, Italie)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences pour l'ingénieur et microtechniques (Besançon ; 1991-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : FEMTO-ST : Franche-Comté Electronique Mécanique Thermique et Optique - Sciences et Technologies (Besançon) - Franche-Comté Électronique Mécanique- Thermique et Optique - Sciences et Technologies (UMR 6174) / FEMTO-ST
• Partenaire(s) de recherche : Site de préparation : Université de Franche-Comté (1971-....)
• Jury : Président / Présidente : Sandro Vaienti
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Christophe Guyeux, Stefano Galatolo, Sandro Vaienti, Wael Bahsoun, Isaia Nisoli
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Sandro Vaienti, Wael Bahsoun

Mots clés

Mots clés contrôlés

Systèmes dynamiques aléatoires

Théorie ergodique

Analyse fonctionnelle

Mots clés libres

Analyse fonctionnelle

Théorie ergodique

Systèmes dynamiques

Arithmétique des intervalles

Functions analysis

Ergodic theory

Computational dynamical systems

Interval arithmetics

Résumé

En 2019, on estime que la quantité de données numériques dans le monde est de 40 zettabytes, soit 40 fois le nombre d'étoiles observables dans l'univers. Il est évidemment impossible de fournir une estimation précise de cette quantité, mais si l'on regarde notre société, il n'est pas difficile d'imaginer qu'il en soit ainsi. La gestion de cette quantité de données et d'appareils numériques est un énorme défi pour l'humanité, impliquant pratiquement tous les domaines de la connaissance, de la métallurgie à l'éthique. Il se pose alors spontanément la question de savoir si, malgré leur complexité intrinsèque, il est possible de comprendre, dans un certain sens, l'évolution de ce type de systèmes complexes. Cette question se situe naturellement dans le domaine des mathématiques, et l'une des techniques actuellement utilisées pour modéliser un phénomène observable consiste à décrire l'évolution d'un système par l'évolution d'un certain processus stochastique, un système dynamique aléatoire. L'objectif de cette thèse est d'essayer de répondre à la question suivante : étant donné un système dynamique aléatoire, sommes-nous capables de prédire (et non pas seulement de simuler) son comportement à long terme ? Si je mets une goutte d'encre noire dans un verre d'eau, les interactions à court terme entre ces deux liquides sont imprévisibles. Cependant, nous pouvons tous dire avec certitude qu'après un temps suffisant, l'eau et l'encre se mélangent complètement, le verre est rempli d'un liquide gris, le système aura atteint son état d'équilibre.L'exemple qui vient d'être exposé, peut être formalisé de plusieurs façons, l'une d'entre elles est de considérer un certain opérateur défini sur les espaces appropriés, qui fait correspondre les mesures aux mesures, et de prouver par exemple que cet opérateur admet comme point fixe la mesure de Lebesgue correctement normalisée (l'état d'équilibre). Ce type d'opérateurs, appelés Opérateurs de Transfert, sont des opérateurs linéaires définis sur des espaces de Banach appropriés, et font l'objet de l'étude de cette thèse.Un opérateur de transfert associé à un système dynamique décrit l'évolution des densités en fonction de la dynamique (dans l'exemple précédent, la goutte d'encre que l'on peut modéliser avec un delta de Dirac, évoluera dans la mesure de Lebesgue). Sous des hypothèses appropriées, ces opérateurs de transfert admettent des points fixes, qui sont les mesures stationnaires du système, et notre but est de calculer ces points fixes, qui représentent le comportement statistique du système considéré après un long moment.Malheureusement, dans de nombreux cas, même simples, le calcul de la mesure stationnaire, ou mieux, de sa densité par rapport à la mesure de Lebesgue, ne peut être abordé de manière analytique. La stratégie que nous suivons consiste donc à faire une approximation rigoureuse de ces densités ; nous remarquons l'importance du fait que nous sommes intéressés à avoir des estimations quantitatives rigoureuses, et non à simuler numériquement un système. Le noyau central de cette thèse interdisciplinaire est d'utiliser des idées mathématiques qui nous permettent d'avoir une estimation explicite des erreurs liées à ces approximations rigoureuses, combinée à une mise en œuvre informatique précise, ce qui conduit à avoir des théorèmes quantitatifs prouvés à l'aide d'un ordinateur.

In 2019 it has been estimated that the amount of digital data in the world is 40 zettabytes, 40 times the number of observable stars in the universe. Obviously providing an accurate estimate of this amount is impossible, but looking at our society, it is not difficult to imagine that it is so. Managing this amount of data and digital devices is a huge challenge for mankind, involving virtually every area of knowledge, from metallurgy to ethics. It arises spontaneously then, to wonder if, despite their intrinsic complexity, it is possible to understand, in some sense, the evolution of this type of complex systems. This question is naturally placed in the mathematical field, and one of the techniques currently used to model an observable phenomenon is to describe the evolution of a system through the evolution of a certain stochastic process, a random dynamical system. The purpose of this thesis is to try to answer the following question: given a random dynamical system, are we able to predict (not just simulate) its behavior in the long term? If I put a drop of black ink in a glass of water, the short term interactions between these two liquids are unpredictable. However, we can all say with certainty that after enough time, the water and ink mix completely, the glass is filled with a grey liquid, the system will have reached its equilibrium state.The example just exposed, can be formalized in many ways, one of these is to consider a certain operator defined on the appropriate spaces, which maps measures to measures, and prove for example that this operator admits as fixed point the Lebesgue’s measure properly normalized (the state of equilibrium). This type of operators, are called Transfer Operators, and are linear operators defined on appropriate Banach spaces, and are the object of study of this thesis.A transfer operator associated with a dynamical system describes the evolution of the densities according to the dynamics (in the previous example, the drop of ink that we can model with a delta of Dirac, will evolve in the measure of Lebesgue). Under appropriate assumptions, these transfer operators admit fixed points, which are the stationary measures of the system, and our goal is to calculate these fixed points, which represent the statistic behavior of the system under consideration after a long time.Unfortunately, in many cases, even simple ones, the calculation of the stationary measure, or better, of its density with respect to the Lebesgue measure, cannot be addressed analytically. The strategy we follow is therefore to rigorously approximate these densities; we remark on the importance of the fact that we are interested in having rigorous quantitative estimates, and not in numerically simulating a system. The central core of this interdisciplinary thesis is to use mathematical ideas that allow us to have an explicit estimation of the errors related to these rigorous approximations, combined with an accurate computer science implementation, which leads to have quantitative theorems proved with the aid of a computer.