Hétérogénéité dans les lois de conservation scalaires : approximation et applications

Heterogeinity in scalar conservation laws : approximation and applications

• Auteur / Autrice : Abraham Sylla
• Direction : Boris P. Andreïanov, Vincent Perrollaz
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 08/07/2021
• Etablissement(s) : Tours
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, Informatique, Physique Théorique et Ingénierie des Systèmes (Centre-Val de Loire ; 2012-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Denis Poisson (Orléans, Tours ; 2018-....)
• Jury : Président / Présidente : Guy Barles
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Simone Göttlich, Christophe Chalons
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Paola Goatin, Nils Henrik Risebro, Cyril Imbert

Mots clés

Mots clés contrôlés

Applications mobiles

Hamilton-Jacobi, Équations de

Approximation numérique

Modèles mathématiques

Circulation -- Estimation

Réseaux routiers intelligents

Minimum inhomogène

Volumes finis, Méthodes de

Lois de conservation (mathématiques)

Champs scalaires

Mots clés libres

Lois de conservation hétérogènes

Modèles de trafic

Interfaces mobiles

Schéma volumes finis

Inverse design

Heterogenous conservation laws

Traffic flow models

Moving interfaces

Finite volume schemes

Inverse design

Résumé

Dans cette thèse, on traite la prise en compte de l'hétérogénéité dans les lois de conservation scalaires, c'est à dire les lois de conservation non invariantes par translation en espace. Ces équations apparaissent notamment dans lesmodèles de trafic. Par exemple, les mécanismes suivants introduisent de l'hétérogénéité : la présence de feux de circulation, des portions de route où la vitesse maximale est limitée, la variabilité de l'état de la route, etc... La prise en compte del'hétérogénéité permet d'enrichir les modèles de trafic. On aborde trois classes de problèmes inhomogènes pour lesquelles on complète et approfondit le cadre mathématique pour l'analyse théorique et l'approximation numérique.Nous explorons en détail le cadre où l'hétérogénéité est matérialisée par l'ajout d'une ou plusieurs interfaces mobiles. Le long des interfaces, on impose une condition de majoration sur le flux de la loi de conservation. Cette classe demodèles permet de tenir compte de la présence d'un petit nombre de véhicules encombrants et lents (ou alors, de véhicules autonomes qui ont pour rôle la régulation du trafic). Dans ce cadre, l'évolution des interfaces et des contraintesest couplée de façon non locale à l'état du trafic et/ou aux paramètres spécifiant l'état du véhicule ou du conducteur. En outre, nous élaborons une description de l'hétérogénéité du trafic résultant des variations du degré d'organisation desconducteurs, dans le cadre des modèles dits ''du second ordre''. L'aspect numérique est prépondérant pour les modèles de trafic que nous étudions. On construit des schémas numériques robustes et on élabore des techniques decompacité spécifiques. La convergence de ces schémas conduit à des résultats d'existence.Enfin, en lien avec le modèle décrivant l'évolution d'une densité de véhicules sur une route hétérogène, on étudie théoriquement une loi de conservation dans laquelle la dépendance spatiale du flux est explicite. Des résultatsclassiques sur le caractère bien posé ou la correspondance avec l'équation de Hamilton-Jacobi associée sont obtenus sous des hypothèses plus en adéquation avec la modélisation que celles rencontrées dans la littérature. Les applicationsallant au-delà de la description du trafic, on se donne pour objectif l'analyse approfondie des problèmes d'identification de données initiales.

This thesis is devoted to the treatment of heterogeneity in scalar conservation laws. We call heterogeneous a conservation which is not invariant by spacetranslation. These equations arise for instance in traffic flow dynamics modeling. The presence of traffic lights or roads that have a variable maximum speed limitare examples of mechanisms which lead to heterogeneous conservation laws. Considering such equations is a way to expand macroscopic traffic flow models. We tacklethree classes of inhomogeneous problems for which we extend the mathematical framework for both the theorical analysis and the numerical approximation.We fully investigate the treatment of heterogeneity when one or several moving interfaces are added in the classic LWR model for traffic flow. Flux constraintsare attached to each interfaces. The resulting class of models can be used to take into account the presence of slow moving vehicles that reduce the road capacityand thus generates a moving bottleneck for the surrounding traffic flow. They can also describe the regulating effect of autonomous vehicles. In this framework,the interfaces and the constraints are linked in a nonlocal way to the traffic density and/or to an orderliness marker describing the state of the drivers. Thedescription of the heterogeneity caused by the variations in the drivers' organization leads to the analysis of a so called second order model. The numericalaspect plays a central role in the analysis of these traffic flow models. We construct robust numerical schemes and establish specific techniques to obtaincompactness of the approximate solutions. Proving convergence of these schemes leads to existence results.Finally, with the space-dependent LWR traffic flow model in mind, we theoretically analyze a class of scalar conservation laws with explicit space dependency.Classical results such as well-posedness or the link to the associated Hamilton-Jacobi equation are obtained under a set of assumptions better fitting themodeling hypothesis. With applications that go beyond traffic modeling in mind, we aim to tackle initial data identification problems.