Mesures de risque matrice-variable, vecteur-variable et univarié et aspects connexes

Matrix-variate, vector-variate and univariate risk measures and related aspects

• Auteur / Autrice : María Andrea Arias Serna
• Direction : Jean-Michel Loubès, Francisco José Caro Lopera
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 03/12/2021
• Etablissement(s) : Toulouse 3 en cotutelle avec Universidad de Medellín
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, informatique et télécommunications (Toulouse)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Toulouse (2007-....)
• Jury : Président / Présidente : Jean-François Dupuy
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Jean-Michel Loubès, Francisco José Caro Lopera
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Narayanaswamy Balakrishnan

Mots clés

Mots clés contrôlés

Mathématiques financières

Fonctions hypergéométriques

Distances de Wasserstein

Mots clés libres

Valeur à risque

Valeur à risque conditionnelle

Barycentre de Wasserstein

Famille de localisation et d'échelle

Fonction hypergéométrique

Matrices définies positives

Distributions généralisées de Whishart

Bêta et F

Quantile

Polynômes zonaux de James

Value-at-Risk

Conditional Value-at-Risk

Wasserstein Barycenter

Location-scatter family

Hypergeometric function of matrix argument

Positive definite matrices

Generalized Wishart

Beta and F distribution

Quantil

James' Zonal polynomials

Résumé

Généralement, les mesures de risque sont considérées comme des mappings d'un ensemble de variables aléatoires réelles vers des nombres réels. Cependant, il est souvent insuffisant de considérer une seule mesure réelle pour quantifier les risques découlant des activités financières. Au cours de la dernière décennie, de nombreuses extensions de la Valeur à risque multivariée ont été étudiées et certains articles proposent des méthodes alternatives de mesure du risque pour les portefeuilles multivariés. Toutefois, comme le mentionne Li et al. [2012], certaines des traductions univariées sont devenues irréalistes et reposent sur des hypothèses inappropriées qui, dans le contexte des mesures de risque, sont difficiles à élucider. Les mesures de risque les plus utilisées en économie, en assurance et en finance sont probablement la valeur à risque (VaR) et la valeur à risque conditionnelle (CVaR). L'objectif de cette thèse est de proposer de nouvelles méthodologies pour quantifier la VaR et la CVaR à partir d'une approche vecteur-variable et matrice-variable. Dans le premier chapitre de la thèse, une nouvelle approche pour modéliser les mesures de risque vecteur-variable sous le barycentre de Wasserstein des mesures de probabilité est proposée. Un aspect crucial sous-jacent ici pour la nouvelle méthode est que le barycentre de Wasserstein des mesures reste invariant sous les distributions de localisation et d'échelle, il est donc possible de proposer des formules exactes pour le barycentre de Wasserstein de la VaR et de la CVaR. Explicitement, un concept de la théorie des probabilités est incorporé aux modèles financiers en proposant des mesures de Fréchet, qui sont calibrées par une certaine métaréalisation de l'espace des mesures de probabilité. Dans ce cas, la métrique de Wasserstein soutient la méthode et fournit des connexions fondamentales avec le concept émergent de barycentre au sens d'Agueh et Carlier dans Agueh and Carlier [2011]. Le modèle proposé est comparé à d'autres modèles simples et avancés, et ses performances sont vérifiées sur les principaux indices boursiers américains, pendant la pandémie de COVID-19. Le modèle introduit fonctionne de manière satisfaisante dans les périodes de prix d'actifs communs et volatils, fournissant une prévision réaliste de la VaR dans cette ère de distanciation sociale. Maintenant, lorsque nous cherchons une extension matrice-variable de la VaR, la littérature financière ne fournit aucune approche. Cependant, d'un point de vue mathématique, la VaR ne requiert des percentiles significatifs que dans le contexte des fonctions de densité cumulative matricielle. La théorie des distributions matrice-variable est étudiée en profondeur dans Muirhead [2005]. En particulier, des formules sont fournies pour calculer P(X < = V) et P(X > = V) lorsque X suit une distribution de Wishart et V est une matrice définie positive et il a été démontré que la fonction de distribution cumulative peut être exprimée en termes de fonction hypergéométrique gaussienne. [...]

Usually, risk measures are functions of a set of real random variables to the real numbers. However, it is often insufficient to consider a single real-varied measure to quantify the risks derived from different economic and financial activities. In the last decade, many extensions of vector-valued risk measures have been investigated In the last decade, many extensions of vector-valued risk measures have been investigated, see Embrechts and Puccetti [2006], Cousin and Di Bernardino [2013], Torres et al. [2015]. However, as mentioned in Li et al. [2012] some of the univariate transcripts are unrealistic and are based on assumptions that are difficult to elucidate. Probably the most widely used risk measures in economics, insurance, and finance are the Value-at-Risk (VaR) and the Conditional Value-at-Risk (CVaR). The objective of this thesis is to propose new methodologies to quantify VaR and CVaR from an uni-variate, vector-variate and matrix-variate approaches. In the first chapter of this thesis, a new approach is proposed to model vector-varied risk measures under the Wasserstein barycenter of probability measures. A crucial aspect that underlies here for the new method is that the Wasserstein measure-barycenter remains invariant under the location and scale families, so it is possible to propose exact formulas for the Wasserstein Barycenter VaR and the Wasserstein Barycenter Conditional CVaR. The new method considers a reliable risk measure based on distances among probabilistic models. The underlying suitable probability laws obey, for example, opinions, beliefs, and estimates of data sources, in the context of the financial risk. Explicitly, a concept in probability theory is brought into the financial models by proposing the named Fréchet measures; which are calibrated by certain metrization of the probability measure space. In this case, the well-studied metric of Wasserstein supports the method and provides fundamental connections for the rising concept of barycenter in the sense of Agueh and Carlier in Agueh and Carlier [2011]. Simple and advanced multivariate VaR models are compared with the proposed model. The performance of the model is also checked in the major U.S. stock indices during the COVID-19 pandemic. The introduced model behaves satisfactorily in both common and volatile periods of asset prices, providing a realistic VaR forecast in this era of social distancing. If we search for a matrix-variate extension for risk measures, the finance literature does not provide us with any approaches. However, from a mathematical point of view, risk measures just requires meaningful percentiles in the context of matrix cumulative density functions. The theory behind the random matrix setting has been deep studied by Muirhead [2005]. In particular, that paper provided a formulation for calculating P(X < = V) and P(X > = V) when X follows a Wishart distribution and V is a positive definite matrix. They also demonstrated that its cumulative distribution function can be expressed in terms of a Gaussian hypergeometric function of matrix argument. Based on this theory, in chapter 2 a method is developed to estimate the VaR and the CVaR when the risk factors follow a beta distribution in an univariate and a matrix-variate approach. For this purpose, we connect matrix argument theory of hypergeometric functions and integration over positive definite matrices. The upper matrix VaR and the lower matrix VaR are defined, which are obtained as the zeros of the Gaussian hypergeometric function. Both extensions are shown to satisfy the properties of monotonicity, positive homogeneity, and translational invariance. Analytical expressions are developed for certain shape parameters, in addition, a numerical solution is presented for any value of said parameters. [...]