Étude algébrique des points périodiques et des multiplicateurs d'une fraction rationnelle

Algebraic study of the periodic points and multipliers of a rational map

• Auteur / Autrice : Valentin Huguin
• Direction : Xavier Buff, Jasmin Raissy
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et Applications
• Date : Soutenance le 22/10/2021
• Etablissement(s) : Toulouse 3
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, informatique et télécommunications (Toulouse)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Toulouse (2007-....)
• Jury : Président / Présidente : Arnaud Chéritat
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Xavier Buff, Jasmin Raissy, Arnaud Chéritat, Charles Favre, Laura Demarco, Sarah Collen Hanlon Koch, Thomas Gauthier, Rafe Jones
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Charles Favre, Laura Demarco

Mots clés

Mots clés contrôlés

Multiplicateurs (analyse mathématique)

Polynômes

Théorie des nombres

Mots clés libres

Dynamique arithmétique

Dynamique complexe

Théorie des nombres

Arithmetic dynamics

Complex dynamics

Number theory

Résumé

Dans cette thèse, nous examinons plusieurs questions arithmétiques concernant les points périodiques et les multiplicateurs d'une fraction rationnelle. Nous étudions l'ensemble des paramètres complexes c pour lesquels deux points donnés a et b sont simultanément prépériodiques pour le polynôme f_c(z) = z^2 +c. En combinant des arguments d'analyse complexe et de théorie des nombres, Baker et DeMarco ont montré que cet ensemble de paramètres est infini si et seulement si a^2 = b^2. Récemment, Buff a répondu à une de leurs questions, en prouvant que l'ensemble des paramètres c pour lesquels 0 et 1 sont tous deux prépériodiques pour f_c est égal à {-2, -1, 0}. Nous complétons la description de ces ensembles quand a et b sont deux entiers tels que |a| ≠ |b|. Nous examinons également une conjecture de Milnor concernant les fractions rationnelles dont le multiplicateur en chaque cycle est entier. Nous montrons que la conjecture est vraie dans le cas des polynômes cubiques avec symétries, en prouvant que tout polynôme cubique avec symétries dont tous les multiplicateurs sont entiers est soit une application puissance soit une application de Tchebychev. Nous étudions aussi certaines généralisations de la question de Milnor. Ainsi, nous montrons que tout polynôme unicritique qui n'a que des multiplicateurs rationnels est soit une application puissance soit une application de Tchebychev. Nous prouvons également que toute fraction rationnelle quadratique dont tous les multiplicateurs sont dans l'anneau des entiers d'un corps quadratique imaginaire donné est une application puissance, une application de Tchebychev ou un exemple de Lattès. Nous sommes ainsi amenés à étudier les points périodiques et les multiplicateurs d'une fraction rationnelle d'un point de vue algébrique avec les notions de polynômes dynatomiques et de polynômes multiplicateurs. Nous examinons aussi certaines propriétés de ces polynômes, et notamment les coefficients des polynômes multiplicateurs d'une fraction rationnelle.

In this thesis, we examine several arithmetic questions concerning the periodic points and multipliers of a rational map. We study the set of complex parameters c for which two given points a and b are simultaneously preperiodic for the quadratic polynomial f_c(z) = z^2 +c. Combining complex-analytic and number-theoretic arguments, Baker and DeMarco showed that this set of parameters is infinite if and only if a^2 = b^2. Recently, Buff answered a question of theirs, proving that the set of parameters c for which both 0 and 1 are preperiodic for f_c equals {-2, -1, 0}. We complete the description of these sets when a and b are two integers such that |a| ≠ |b|. We also examine a conjecture by Milnor concerning rational maps whose multiplier at each cycle is an integer. We show that the conjecture is true in the case of cubic polynomials with symmetries, proving that every cubic polynomial with symmetries whose multipliers are all integers is either a power map or a Chebyshev map. We also study generalizations of Milnor's question. Thus, we show that every unicritical polynomial that has only rational multipliers is either a power map or a Chebyshev map. We also prove that every quadratic rational map whose multipliers all lie in the ring of integers of a given imaginary quadratic field is a power map, a Chebyshev map or a Lattès map. Thus, we are led to study the periodic points and multipliers of a rational map from an algebraic viewpoint with the notions of dynatomic polynomials and multiplier polynomials. We also examine certain properties of these polynomials, and in particular the coefficients of the multiplier polynomials of a rational map.