Thèse soutenue

Etude mathématique et numérique d'un système de Gross-Clark-Schrödinger
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Auteur / Autrice : Joe Alhelou
Direction : Mihai MarisDavid Chiron
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques et Applications
Date : Soutenance le 16/11/2021
Etablissement(s) : Toulouse 3
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, informatique et télécommunications (Toulouse)
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Toulouse (2007-....)
Jury : Président / Présidente : Jean-Claude Saut
Examinateurs / Examinatrices : Mihai Maris, David Chiron, Jean-Claude Saut, Laurent Di Menza, André de Laire, Claire Scheid, Radu Ignat, Maria Medina de la Torre
Rapporteurs / Rapporteuses : Laurent Di Menza, André de Laire

Résumé

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Cette thèse porte sur l'étude d'un système de Gross-Clark-Schrödinger qui modélise le mouvement d'une impureté dans un condensat de Bose. Nous avons d'abord montré que le problème de Cauchy pour ce système est globalement bien posé dans l'espace d'énergie associé. L'approche utilisée est assez classique et est basée sur des estimations de type Strichartz ainsi que sur l'utilisation d'un théorème de point fixe. Dans un second temps nous nous sommes intéressés aux ondes progressives de ce système. Ces solutions spéciales ont été étudiées dès 1974 par des physiciens à l'aide des développements asymptotiques formels et de quelques simulations numériques. En dimension un d'espace l'existence de ces solutions et quelques propriétés ont été établies rigoureusement en 2006. Malgré plusieurs tentatives, il n'existe dans la littérature aucune preuve rigoureuse de l'existence des ondes progressives en dimension supérieure ou égale à deux. Nous avons utilisé plusieurs approches pour montrer l'existence, basées sur des idées et des outils récemment développés en Calcul des Variations. Une d'elles consiste à minimiser l'énergie associée au système sous deux contraintes, à masse constante et à moment constant. Nous avons montré que les ondes progressives minimisantes existent pour tout couple (moment, masse) qui vérifie une condition de stricte sous-additivité de l'énergie minimale comme fonction de deux variables. En parallèle, nous avons effectué des simulations numériques qui ont bien mis en évidence les ondes progressives dans les cas qui correspondent aux applications physiques, nous avons obtenu leurs profils et nous avons calculé leurs niveaux d'énergie. Nous avons étudié également d'autres types de solutions spéciales, notamment les états fondamentaux de moment nul et les solutions de type bulle-vortex.