Contributions au problème du transport optimal et à sa régularité

Contributions to the optimal transport problem and its regularity

• Auteur / Autrice : Maxime Prod'homme
• Direction : Max Fathi, Felix Otto
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et Applications
• Date : Soutenance le 27/10/2021
• Etablissement(s) : Toulouse 3
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, informatique et télécommunications (Toulouse)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de Recherche en Informatique de Toulouse (1995-....)
• Jury : Président / Présidente : Radu Ignat
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Max Fathi, Felix Otto, Radu Ignat, Filippo Santambrogio, Djalil Chafaï, Maria Colombo
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Filippo Santambrogio, Djalil Chafaï

Mots clés

Mots clés contrôlés

Vitesse de convergence

Matrices aléatoires

Transport optimal de mesure

Mots clés libres

Transport optimal

Régularité partielle

Monge-Ampère

Matrices aléatoires

Ensemble de Ginibre

Optimal transport

Partial regularity

Monge-Ampère

Random matrices

Ginibre ensemble

Résumé

Cette thèse s'intéresse au problème du transport optimal, en particulier aux propriétés de régularité d'une fonction réalisant un tel transport. La première partie de ce manuscrit donne une nouvelle démonstration du théorème de contraction de Caffarelli, selon lequel le transport optimal de la gaussienne sur une mesure ayant une densité uniformément log-concave par rapport à la gaussienne est 1-Lipschitz. Au contraire des précédentes preuves de ce résultat, la stratégie employée ici s'appuie directement sur le problème de minimisation, ou plus précisément sur une régularisation entropique du transport optimal et une caractérisation variationnelle de la propriété Lipschitz du transport optimal démontrée par Gozlan et Juillet. La deuxième partie étend l'approche variationnelle proposée par Goldman et Otto, permettant de prouver la régularité partielle de fonctions de transport optimales, à des fonctions de coût générales. La principale nouveauté est l'introduction, dans le contexte du transport optimal, de la notion de quasi-minimalité déjà bien établie dans le domaine des surfaces minimales. On montre en effet qu'un plan de transport optimal pour un coût proche du coût quadratique est quasi-optimal pour le coût quadratique, permettant alors résoudre le problème posé par l'absence d'équivalence de Benamou-Brenier pour un coût quelconque. Enfin, on obtient dans la troisième et dernière partie une estimation optimale de la vitesse de convergence, en distances de Wasserstein W1 et W2, de la mesure spectrale empirique de matrices de Ginibre vers la loi circulaire. Ceci s'appuie sur une estimation des fluctuations du nombre de points dans un domaine, grâce à la structure déterminantale du processus de points, et une construction itérative de mesures intermédiaires, de l'échelle microscopique à l'échelle macroscopique, permettant de relier distance W2 et variance du nombre de points.

This thesis deals with the optimal transport problem, in particular with regularity properties shared by optimal transport maps. The first part of this manuscript provides a new proof of the Caffarelli contraction theorem, stating that the optimal transport map from the gaussian measure to a measure with a uniformly log-concave density with respect to the gaussian measure is 1-Lipschitz. The strategy developped here differs from the previous ones in the fact that it directly exploits the minimization problem, through an entropic regularization of optimal transport and a variational characterization of the Lipschitz property of an optimal transport map proved by Gozlan and Juillet. The second part extends the variational approach, introduced by Goldman and Otto for the regularity theory of optimal transport maps, to the situation of general cost functions. The main contribution is the introduction, in the context of optimal transport, of the notion of almost-minimality, which is already well established in minimal surfaces. We show that an optimal transport plan for a cost function close to being quadratic is almost-optimal for the quadratic cost, allowing us to solve the issue raised by the non-existence of a Benamou-Brenier equivalence for a general cost function. In the third part, we obtain the optimal rate of convergence, in W1 and W2 Wasserstein distance, of the empirical spectral measure of Ginibre matrices to the circular law. This relies on an estimation of the fluctuations of the number of points in a domain, using the determinantal structure of the point process, and an iterative construction of intermediate measures, from microscopic to macroscopic scales, which allows to link the W2 distance to the variance of the number of points.