Problèmes de stabilisation au bord pour des systèmes d'équations aux dérivées partielles hyperboliques en dimension un d'espace

Boundary stabilization problems for systems of hyperbolic partial differential equations in one dimension

• Auteur / Autrice : Mathias Dus
• Direction : Franck Boyer, Francesco Ferrante
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 05/07/2021
• Etablissement(s) : Toulouse 3
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, informatique et télécommunications (Toulouse)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Toulouse (2007-....)
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Sylvain Ervedoza, Lucie Coline Baudouin, Christophe Prieur
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Emmanuel Trélat, Julie Valein

Mots clés

Mots clés contrôlés

Théorie du transport

Liapounov, Fonctions de

Équations différentielles hyperboliques

Mots clés libres

Stabilisation

Équations de transport

Backstepping

Saturation

Schémas numériques

Stabilization

Transport equations

Backstepping

Saturation

Numerical schemes

Résumé

Dans cette thèse, nous étudions le problème de stabilisation au bord de systèmes généraux d'équations aux dérivées partielles hyperboliques. Plus précisément, l'étude se focalise sur des systèmes où le transport est uniquement scalaire et où le sens de propagation de l'information est fixé. En outre, le contrôle choisi sera la plupart du temps sous la forme d'une loi de retour d'état (ou feedback) linéaire que l'on perturbera éventuellement par l'effet d'une saturation. Le travail est séparé en deux parties bien distinctes ; l'une se concentre sur des méthodes de Lyapunov, tandis que l'autre va plutôt utiliser des techniques propres au linéaire. Pour la première partie, deux travaux principaux sont présentés. Dans un premier temps, nous ne considérons que des équations de transport linéaires à vitesses positives et cherchons à stabiliser exponentiellement le système dans L8 grâce à un feedback linéaire saturé. La méthode consiste à utiliser des techniques classiques de Lyapunov afin d'exhiber un bassin d'attraction et d'en donner une estimation fine. On généralise ensuite ce travail dans un cadre BV pour les systèmes de lois de conservation scalaires couplées au bord. Secondement, un système de lois de conservation scalaires à vitesses positives est discrétisé en utilisant un schéma à limiteur de pente. En s'inspirant des méthodes issues du cadre continu, une fonctionnelle de Lyapunov discrète est étudiée pour prouver la stabilisation exponentielle BV par feedback linéaire de la solution discrète. Pour la seconde partie, deux études sont également exposées mais cette fois-ci, dans un cadre totalement linéaire. D'une part, il s'agit d'établir la possibilité de construire un feedback issu d'un placement de pôles pour stabiliser exponentiellement des edps hyperboliques linéaires avec couplage au bord et dans le domaine. D'autre part, nous développons une théorie du backstepping discrétisé pour stabiliser en temps fini un schéma numérique modélisant un système 2 × 2 avec couplage au bord et au sein du domaine.

In this thesis, we study the problem of boundary stabilization of general hyperbolic systems of partial differential equations. More precisely, the analysis focuses on systems where the transport term is scalar and for which the information propagates in a fixed direction. In addition, the chosen control is most of the time a state feedback law for which a saturation is possibly applied. The work is divided into two distinct parts, one focusing on Lyapunov techniques while the other one uses the linearity of the problem. In the first part of the thesis, two main works are presented. In the first one, only linear transport equations with positive velocities are considered. The main goal is to design a saturated linear feedback in order to stabilize exponentially the open-loop system in L 8 . The method consists of using classical Lyapunov techniques to exhibit a basin of attraction for which a fine estimate is given. We also extend this work to nonlinear scalar conservation laws in a BV framework. In the other work, thanks to a slope limiter scheme, a system of scalar conservation laws is discretized. Inspired by "continuous" Lyapunov methods, a discrete Lyapunov functional is studied to prove the exponential BV stabilization of the discrete solution using a linear feedback. In the second part of the thesis, two works are exposed as well, this time in a full linear framework. On the one hand, we study systems of linear transport equations of arbitrary dimension, coupled on the domain and at the boundary. Designing a controller from a pole placement algorithm, the exponential stabilization is proved in L 2 . On the other hand, we develop a numerical Backstepping theory in order to stabilize in finite time a numerical scheme modeling a 2 × 2 linear system with in domain and boundary couplings.