La représentation concise des jeux ordinaux

Concisely-expressed ordinal games

• Auteur / Autrice : Arij Azzabi
• Direction : Nahla Ben Amor, Régis Sabbadin
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Intelligence Artificielle
• Date : Soutenance le 10/06/2021
• Etablissement(s) : Toulouse 3 en cotutelle avec Institut supérieur de gestion (Tunis)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, informatique et télécommunications (Toulouse)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Unité de Mathématiques et Informatique Appliquées (Toulouse)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Algorithmes

Equilibre de Nash

Théorie des jeux

Mots clés libres

Théorie des jeux

Jeux ordinaux

Théorie des possibilités

Equilibre de Nash pur

Equilibre de Nash mixte

Jeux graphiques

Jeux hypergraphiques

Jeux polymatriciels

Game theory

Ordinal games

Possibility theory

Pure Nash equilibrium

Mixed Nash equilibrium

Graphical games

Polymatrix games

Hypergraphical games

Résumé

Le cadre des jeux hypergraphiques, généralisant jeux graphiques et polymatriciels, fournit des représentations concises des jeux non coopératifs impliquant de nombreux agents. Dans ces jeux hypergraphiques, les agents interagissent dans des sous-jeux locaux simultanés avec leurs agents voisins dans un graphe. Par ailleurs, récemment, un nouveau cadre a été proposé pour des jeux où les utilités des agents sont ordinales. Dans ce nouveau modèle, le concept d'équilibre probabiliste mixte de Nash n'est pas pertinent car les degrés d'utilité ordinaux ne peuvent pas être moyennés. De ce fait, la notion d'équilibres mixte possibiliste a été proposée comme concept de solution pour ces jeux. Comme dans le cas classique, ila été montré qu'un jeu ordinal en forme normale admet toujours un équilibre mixte possibiliste. Contrairement au cas classique, cependant, celui-ci peut être calculé en temps polynomial. Notre contribution, dans cette thèse, est d'étendre le cadre des jeux ordinaux en forme normale en proposant des représentations compactes et des algorithmes de calculs d'équilibres, purs ou mixtes. Ces contributions sont divisées en deux parties : la première partie est consacrée à présenter notre définition des jeux Jeux Hypergraphiques Ordinaux (OHG) et les Jeux Polymatriciels Ordinaux (OPG). Nous montrons que, comme pour les jeux classiques basés sur des graphes, déterminer s'il existe un équilibre de Nash pur est un problème NP-difficile. Ensuite, nous proposons un modèle CSP original pour décider de leur existence et les calculer. Nous proposons ensuite un algorithme qui calcule un équilibre mixte possibiliste en temps polynomial pour les jeux basés sur des graphes. Cela signifie que trouver un équilibre pur ou mixte dans un jeu graphique ordinal n'est pas plus complexe que le trouver dans un jeu ordinal ''plat'' et plus facile que dans les jeux cardinaux, en ce qui concerne les équilibres mixtes. Une étude expérimentale est consacrée à tester et valider cette contribution. Lors de l'analyse des jeux ordinaux ''compacts'', on peut être intéressé à trouver tous les équilibres (les moins spécifiques) ou à les compter. La deuxième partie de notre contribution est dédiée à la description d'algorithmes permettant de calculer tous les équilibres mixtes possibilistes les moins spécifiques d'un jeu hypergraphique ordinal. Le premier algorithme, appelé Tree-Nash possibiliste (PI-Tree-Nash) se concentre sur les jeux hypergraphiques ordinaux ayant une structure arborescente. Cet algorithme est une contrepartie possibiliste de l'algorithme Tree-Nash proposé par Kearns pour les jeux graphiques arborescent cardinaux. Ensuite, nous proposons l'algorithme Search All Equilibria (SAE), calculant tous les équilibres mixtes les moins spécifiques d'un jeu hypergraphique ordinal de structure arbitraire. Enfin, nous évaluons la complexité et nous fournissons une étude expérimentale de ces deux algorithmes.

The graphical, hypergraphical and polymatrix games frameworks provide concise representations of non-cooperative normal-form games involving many agents. In these graph-based games, agents interact in simultaneous local subgames with the agents which are their neighbors in a graph. Recently, ordinal normal form games have been proposed as a framework for game theory where agents' utilities are ordinal. The concept of probabilistic mixed-Nash equilibrium is irrelevant in this framework since ordinal utility degrees cannot be averaged. Instead, possibilistic mixed equilibria have been proposed as a principled solution concept in such games. A generic possibilistic mixed equilibrium computation algorithm has been proposed, which applies to ordinal games, be they in standard normal form or graphical form. This algorithm computes a single least-specific equilibrium. This thesis is divided in two main parts: the first part is dedicated to present the first definition of ordinal graph-based games: Ordinal Hypergraphical Games (OHG), and Ordinal Polymatrix Games (OPG). We show that, as for classical graph-based games, determining whether a pure Nash equilibrium exists is also NP-hard. Then, we propose an original CSP model to decide their existence and compute them. We also propose a polynomial-time algorithm to compute a possibilistic mixed equilibrium for graphbased games. This means that finding a pure or mixed equilibrium in a graph-based ordinal game is not more complex than finding it in a ''flat'' ordinal game. Finally, an experimental study is dedicated to test and validate our contribution. When analyzing ordinal games, one may be interested in finding every least-specific equilibria or in counting them. In the second part of this thesis, we propose two algorithms for computing all least-specific possibilistic mixed equilibria in Ordinal Graphbased games. The first one, called Possibilistic Tree-Nash algorithm (PI-Tree-Nash) focuses on tree-structured Ordinal Graphical Games. It is a possibilistic counterpart of the Tree-Nash algorithm proposed by Kearns et al. for (cardinal) graphical games. Then, we propose the Search All Equilibria algorithm (SAE) which computes all least-specific mixed equilibria of an arbitrary Ordinal Graphical Game. We assess the complexity and we provide an experimental evaluation of both algorithms