Etude d'espaces de modules et dynamique des catégories dérivées

Study of moduli spaces and dynamics of derived categories

• Auteur / Autrice : Dominique Mattei
• Direction : Marcello Bernardara
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathematiques
• Date : Soutenance le 05/07/2021
• Etablissement(s) : Toulouse 3
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, informatique et télécommunications (Toulouse)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Toulouse (2007-....)
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Laure Flapan, Laurent Manivel
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Arend Bayer, Daniel Huybrechts

Mots clés

Mots clés contrôlés

Surfaces K3

Fano, Variétés de

Catégories dérivées (mathématiques)

Mots clés libres

Catégories dérivées

Entropie

Espaces de modules de faisceaux

Variétés de Fano

Surfaces K3

Conditions de stabilité

Derived categories

Entropy

Moduli spaces of sheaves

Fano varieties

K3 surfaces

Stability conditions

Résumé

Cette thèse se divise en deux parties. D'une part, elle a pour but l'étude d'espaces de modules de faisceaux cohérents sur une 3-variété de Fano X et sur une section hyperplane K3 S de X. On montre que la restriction des faisceaux sur X à S décrit une fibration rationnelle entre les espaces de modules de faisceaux MX et MS correspondants. On étend cette fibration en une fibration lagrangienne sur un modèle birationnel M de MS. Finalement, on étudie tous les modèles de MS et on en déduit une description de la transformation birationnelle entre MS et M. Dans un second temps, cette thèse se penche sur l'étude de systèmes dynamiques dans un contexte catégorique. On se concentre sur la catégorie dérivée Db(S) d'une surface projective lisse S. D'une part, on exhibe un nouvel exemple où entropies catégorique et topologique ne coïncident pas. D'autre part, on définit la notion d'entropie topologique généralisée et on étudie, sous certaines conditions, les valeurs que peuvent prendre cette dernière. Couplée au célèbre résultat de Cantat, on en déduit un premier résultat de classification des surfaces admettant des auto-équivalences à entropie non nulle.

This thesis splits in two parts. First, it aims to study moduli spaces of coherent sheaves on a Fano threefold X and on a K3 hyperplane section S of X. We show that the restriction of sheaves from X to S describes a rational fibration between the corresponding moduli spaces of sheaves MX and MS. We extend this fibration to a Lagrangian fibration on another birational model M of MS. Finally, we study all models of MS and we deduce a description of the birational transformation between MS and M. Secondly, this thesis adresses the study of dynamical systems in a categorical point of view. We focus on the case of the derived category Db(S) of a smooth projective surface S. On the one hand, we exhibit a new example for which categorical and topological entropies do not coincide. On the other hand, we define the notion of generalized topological entropy, and we study, under mild assumptions, the values that the latter can take. Combined with the celebrated Cantat result, we deduce a first result concerning the classification of surfaces admitting an auto-equivalence with nontrivial entropy.