Etude d'espaces de modules et dynamique des catégories dérivées

par Dominique Mattei

Thèse de doctorat en Mathematiques

Sous la direction de Marcello Bernardara.

Le jury était composé de Laure Flapan, Laurent Manivel.

Les rapporteurs étaient Arend Bayer, Daniel Huybrechts.


  • Résumé

    Cette thèse se divise en deux parties. D'une part, elle a pour but l'étude d'espaces de modules de faisceaux cohérents sur une 3-variété de Fano X et sur une section hyperplane K3 S de X. On montre que la restriction des faisceaux sur X à S décrit une fibration rationnelle entre les espaces de modules de faisceaux MX et MS correspondants. On étend cette fibration en une fibration lagrangienne sur un modèle birationnel M de MS. Finalement, on étudie tous les modèles de MS et on en déduit une description de la transformation birationnelle entre MS et M. Dans un second temps, cette thèse se penche sur l'étude de systèmes dynamiques dans un contexte catégorique. On se concentre sur la catégorie dérivée Db(S) d'une surface projective lisse S. D'une part, on exhibe un nouvel exemple où entropies catégorique et topologique ne coïncident pas. D'autre part, on définit la notion d'entropie topologique généralisée et on étudie, sous certaines conditions, les valeurs que peuvent prendre cette dernière. Couplée au célèbre résultat de Cantat, on en déduit un premier résultat de classification des surfaces admettant des auto-équivalences à entropie non nulle.

  • Titre traduit

    Study of moduli spaces and dynamics of derived categories


  • Résumé

    This thesis splits in two parts. First, it aims to study moduli spaces of coherent sheaves on a Fano threefold X and on a K3 hyperplane section S of X. We show that the restriction of sheaves from X to S describes a rational fibration between the corresponding moduli spaces of sheaves MX and MS. We extend this fibration to a Lagrangian fibration on another birational model M of MS. Finally, we study all models of MS and we deduce a description of the birational transformation between MS and M. Secondly, this thesis adresses the study of dynamical systems in a categorical point of view. We focus on the case of the derived category Db(S) of a smooth projective surface S. On the one hand, we exhibit a new example for which categorical and topological entropies do not coincide. On the other hand, we define the notion of generalized topological entropy, and we study, under mild assumptions, the values that the latter can take. Combined with the celebrated Cantat result, we deduce a first result concerning the classification of surfaces admitting an auto-equivalence with nontrivial entropy.


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Cette thèse a donné lieu à une publication en 2021 par Université Paul Sabatier à Toulouse

Etude d'espaces de modules et dynamique des catégories dérivées


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Informations

  • Sous le titre : Etude d'espaces de modules et dynamique des catégories dérivées
  • Détails : 1 vol. (92 p.)
  • Annexes : Bibliogr. p. 86-92
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