Géométrie et spectre des surfaces hyperboliques typiques

Geometry and spectrum of typical hyperbolic surfaces

• Auteur / Autrice : Laura Monk
• Direction : Nalini Anantharaman
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 13/09/2021
• Etablissement(s) : Strasbourg
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, sciences de l'information et de l'ingénieur (Strasbourg ; 1997-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de recherche mathématique avancée (Strasbourg)
• Jury : Président / Présidente : Charles Bordenave
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Vladimir Fock, Anton Zorich
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Ursula Hamenstädt, Hugo Parlier

Mots clés

Mots clés contrôlés

Espaces de modules

Selberg, Formule de trace de

Géométrie hyperbolique

Mots clés libres

Surfaces hyperboliques

Valeurs propres du laplacien

Formule des traces de Selberg

Convergence de Benjamini–Schramm

Espace des modules

Volume de Weil–Petersson

Géodésiques fermées

Surfaces aléatoires

Hyperbolic surfaces

Eigenvalues of the Laplacian

Selberg trace formula

Benjamini–Schramm convergence

Weil–Petersson volume

Moduli spaces

Closed geodesics

Random surfaces

Résumé

L'objectif de cette thèse est de démontrer de nouveaux résultats sur la géométrie et le spectre des surfaces hyperboliques compactes typiques, dans la limite de grand genre g. Nous prouvons des propriétés vraies avec une probabilité de Weil–Petersson tendant vers 1 quand g → +∞, et donc sauf sur un petit ensemble de surfaces atypiques. Nous étudions tout d'abord des propriétés géométriques à l'échelle log(g). Nous prouvons la convergence au sens de Benjamini–Schramm et définissons une nouvelle notion de surface "tangle-free". Nous en déduisons plusieurs résultats, dont un lemme du collier amélioré et le fait que, pour a<1, toutes les géodésiques fermées de longueur ≤ a log(g) sont simples. Nous prouvons ensuite que la densité spectrale des surfaces hyperboliques typiques converge vers celle du plan hyperbolique ; nous en déduisons une loi de Weyl uniforme et une amélioration des bornes sur les multiplicités. Enfin, nous suggérons une méthode pour démontrer que les surfaces hyperboliques typiques ont un trou spectral optimal, fondée sur un développement asymptotique des volumes de Weil–Petersson et un nouvel argument utilisant des intégrations par parties.

The aim of thesis is to prove new results on the geometry and spectrum of typical compact hyperbolic surfaces, in the high-genus limit. We focus on statements that are true with probability going to one as the genus g → +∞ for the Weil–Petersson probability measure, hence excluding a small set of atypical surfaces. We first study geometric properties at the large scale log(g). We prove Benjamini–Schramm convergence and define a new notion of tangle-freeness. Several geometric consequences are derived from this definition, amongst which an improved collar lemma and the fact that all closed geodesics of length ≤ a log(g) are simple if a < 1. Then, we prove that the spectral density of typical hyperbolic surfaces converges to the spectral density of the hyperbolic plane in the high-genus limit. This implies a uniform Weyl law and improved bounds on the multiplicity of eigenvalues. Finally, we suggest a method to prove that typical hyperbolic surfaces have an optimal spectral gap. The method relies on an asymptotic expansion of Weil–Petersson volume polynomials in powers of 1/g and a new integration-by-parts argument.