Normes sur le groupe des contactomorphismes et contactisation de domaines étoilés, leurs géodésiques et leurs caractéristiques translatées.

Norms on the group of contactomorphisms and contactification of starshaped domains, their géodésies and their translated characteristics

• Auteur / Autrice : Pierre-Alexandre Arlove
• Direction : Mihai Damian, Miguel Abreu
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 09/07/2021
• Etablissement(s) : Strasbourg
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, sciences de l'information et de l'ingénieur (Strasbourg ; 1997-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de recherche mathématique avancée (Strasbourg)
• Jury : Président / Présidente : Jean-François Barraud
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Emmanuel Opshtein, Yohann Le Floch, Sheila Sandon
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Vincent Colin, Felix Schlenk

Mots clés

Mots clés contrôlés

Géométrie symplectique

Mots clés libres

Géométrie de contact

Géométrie symplectique

Contactomorphismes

Symplectomorphsimes

Normes invariantes par conjugaison

Distribution caractéristique

Fonctions génératrices

Contact geometry

Symplectic geometry

Contactomorphisms

Symplectomorphisms

Conjugation invariant norm

Characteristic distribution

Generating functions

Résumé

Nous étudions différentes normes sur le groupe des contactomorphismes d’une variété de contact. Pour tout entier n plus grand que 1, grâce à la technique des fonctions génératrices, nous caractérisons certaines géodésiques du groupe des contactomorphismes à support compact de R^2n x S^1 que l’on munit de sa structure de contact standard. Nous calculons explicitement la norme d’une grande famille de contactomorphismes du cotangent unitaire du tore en utilisant un théorème d’intersections de lagrangiennes exactes du cotangent avec la section nulle. Enfin nous étudions la distribution caractéristique des hypersurfaces contenues dans la contactisation d’une variété symplectique exacte. Cela nous permet de définir un ensemble de valeurs pour les ouverts de la variété de contact considérée. Cet ensemble de valeurs contient des invariants de contact et généralise la notion du spectre d’un ouvert d’une variété symplectique exacte.

We study different norms on the group of contactomorphisms of a contact manifold. For every integers n greater than 0, using generating function techniques, we characterise some geodesics of the group of compactly supported contactomorphisms of R2n x S^1 endowed with its standard contact structure. We compute explicitely the norm of a big family of contactomorphisms of the unitary cotangent of the torus using a theorem of intersections between exact Lagrangians with the 0-section inside the cotangent. Finally we study the characteristic distribution on hypersurfaces lying inside the contactification of an exact symplectic manifold. It allows us to define a new set of values for open domains of the contact manifold considered. This set of values contains contact invariants and generalise the notion of the spectrum of an open domain in an exact symplectic manifold.