Inférence dans des grands graphes aléatoires

Inference problems in large random graphs

• Auteur / Autrice : Ludovic Stephan
• Direction : Laurent Massoulié
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 22/10/2021
• Etablissement(s) : Sorbonne université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : École normale supérieure (Paris ; 1985-....). Département d'informatique - Équipe de recherche Dynamics of geometric networks (Paris)
• Jury : Président / Présidente : Nicolas Broutin
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Sandrine Péché, Lenka Zdeborová
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Romain Couillet

Mots clés

Mots clés contrôlés

Arbres (théorie des graphes)

Théorie spectrale (mathématiques)

Inférence

Graphes aléatoires

Mots clés libres

Graphes aléatoires

Inférence

Matrices aléatoires

Théorie spectrale

Détection de communautés

Perturbations de matrices

Random graphs

Inference

Random matrices

Community detection

Résumé

On s'intéresse dans ce manuscrit à des problèmes d'inférence dans des graphes aléatoires de grande taille. Dans un premier temps, on étudie le problème des arbres plantés, où un arbre de forme connue est "caché" dans un graphe d'Erdös-Rényi peu dense. Dans le cas où l'arbre est un chemin, on détermine l'intégralité du paysage de transition de phase, qui a une forme inhabituelle par rapport à d'autres problèmes proches.On s'intéresse ensuite à la détection de communautés, et plus précisément aux algorithmes spectraux pour cette tâche. Ces algorithmes sont connus pour être peu robustes à des faibles perturbations du graphe. Malgré cela, on introduit un nouvel algorithme spectral basé sur une matrice différente, et l'on montre que cet algorithme est bien moins sensible aux perturbations: on peut rajouter ou enlever jusqu'à une petite puissance de n arêtes sans que sa performance ne soit affectée.Dans un troisième temps, on étudie des variantes du problème de détection de communautés : avec une distribution de degrés prescrite, des arêtes dirigées ou encore des étiques sur des arêtes. Toutes ces variantes font partie d'un modèle extrêmement général, sur lequel on prouve des résultats spectraux précis concernant la matrice non-rebroussante. Cela permet de proposer un algorithme à la fois très général et très performant pour tous ces problèmes à la fois.

This manuscript deals with inference problems on large, usually sparse, random graphs. We first focus on a planted tree problem, where a tree with known shape is planted inside a sparse Erdös-Rényi graph. When this tree is a path, we provide a complete characterization of the phase transition landscape, which differs from other related problems.We then move on to the problem of community detection, and the spectral algorithms designed to tackle this task. These algorithms are known for their sensitivity to adversarial noise in the graph. In contrast, we introduce a new spectral method based on a distance matrix and show that it performs equally well when the number of perturbed edges does not exceed a small power of n.Finally, we study several variations of the classical community detection: with edge labels, prescribed degree sequences, or directed edges. We introduce a general model that encompasses all those variants, and prove precise spectral results on the non-backtracking matrix of this model. This allows us to propose a general agnostic algorithm for all those variants as once.