Sur la cohomologie cristalline dérivée et les anneaux perfectoïdes comme spectres de Thom

On derived crystalline cohomology and perfectoid rings as Thom spectra

• Auteur / Autrice : Zhouhang Mao
• Direction : Matthew Morrow
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 07/10/2021
• Etablissement(s) : Sorbonne université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche (1997-....)
• Jury : Président / Présidente : Christian Ausoni
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Kęstutis Česnavičius, Wiesława Nizioł

Mots clés

Mots clés contrôlés

Anneaux topologiques

Groupes d'homotopie

Cohomologie p-adique

Cohomologie cristalline

Mots clés libres

Anneau perfectoïde

Spectre de Thom

Prisme

Cohomologie cristalline (dérivée)

Animation

Cohomologie prismatique

Prefectoid ring

Thom spectrum

Prism

(Derived) crystalline cohomology

Animation

Prismatic cohomology

Résumé

Il y a deux parties indépendantes de cette thèse. La première partie est consacrée à la réalisation des anneaux perfectoïdes comme spectres de Thom, ce qui généralise le théorème classique de Hopkins-Mahowald pour les corps finis F_p. Comme conséquence, nous construisons une version sphérique d'épaississement pro-infinitésimal de Fontaine. De plus, nous réalisons l'anneau des entiers O_K, pour tout extension totalement ramifiées K/Q_p et les anneaux locaux, réguliers et complets.Dans la seconde partie, nous développons tout d'abord un analogue animé de paires d'anneau-idéal, de PD-paires (c'est-à-dire, de paires à puissances divisées) et de PD-enveloppes. Cela nous permet de généraliser des résultats classiques aux situations non-plates et non-finies. Ensuite, nous développons quelques approches à la cohomologie cristalline dérivée et montrer des théorèmes de comparaison. En particulier, nous démontrons que la cohomologie cristalline dérivée coïncide avec la cohomologie cristalline classique quand le schéma (affine) est, grosso modo, quasi-syntomique, ce qui généralise le résultat de B. Bhatt pour les schémas syntomiques. Nous développons aussi un analogue animé et non-complété des prismes et de l'enveloppe prismatique. Nous prouvons une variante du théorème de comparaison de Hodge-Tate et en déduisons un résultat sur des recouvrement plat de l'objet final pour les algèbres quasi-syntomiques, ce qui généralise quelques résultats connus sous des hypothèses de lissité et de finitude.

This thesis contains two independent parts. The first part is devoted to the realization of perfectoid rings as Thom spectra, which generalizes the classical Hopkins-Mahowald theorem for finite fields F_p. As a byproduct, we construct a spherical version of Fontaine's pro-infinitesimal thickening for perfectoid rings. Furthermore, we also realize the ring of integers O_K for any totally ramified extensions K/Q_p, and complete regular local rings as Thom spectra.In the second part, we first develop an animated analogue of ring-ideal pairs, PD-pairs and PD-envelopes. This allows us to generalize classical results to non-flat, non-finitely-generated settings. Next, we develop several approaches to derived crystalline cohomology, and establish comparison theorems. In particular, we show that the derived crystalline cohomology coincides with the classical crystalline cohomology when, roughly speaking, the (affine) scheme in question is quasisyntomic, which generalizes B. Bhatt's result for syntomic schemes. We also develop a non-completed animated analogue of prisms and prismatic envelopes. We prove a variant of the Hodge-Tate comparison for animated prismatic envelopes from which we deduce a result about flat cover of the final object for quasisyntomic algebras, which generalizes several known results under smoothness and finiteness conditions.