Analyse mathématique et asymptotique de modèles couplés fluide-cinétique issus de la mécanique des fluides et des sciences du vivant

Mathematical and asymptotic analysis of coupled fluid-kinetic models stemming from fluid mechanics and life sciences

• Auteur / Autrice : David Michel
• Direction : Laurent Boudin, Ayman Moussa
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 07/07/2021
• Etablissement(s) : Sorbonne université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Jacques-Louis Lions (Paris ; 1997-....)
• Jury : Président / Présidente : Pauline Lafitte-Godillon
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Céline Grandmont, Daniel Han-Kwan
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Frédéric Lagoutière

Mots clés

Mots clés contrôlés

Modèles mathématiques

Mécanique des fluides

Couplage, Théorie du

Théorie du transport

Équations cinétiques

Navier-Stokes, Équations de

Mots clés libres

Fluide-cinétique

Vlasov-Navier-Stokes

Solutions faibles

Simulation numérique

Limite hydrodynamique

Fluid-kinetic

Vlasov-Navier-Stokes

Weak solutions

Numerical simulation

Hydrodynamic limit

Résumé

Nous nous intéressons à des modèles fluide-cinétique décrivant l’évolution de particules en suspension dans un fluide porteur sous l'hypothèse que ce dernier peut être décrit par des quantités macroscopiques, sa vitesse et sa pression, grâce aux équations de Navier-Stokes incompressible. Le spray de particules est quant à lui décrit à l’échelle mésoscopique par sa fonction de densité dans l’espace des phases, régie par une équation de type Vlasov. La prise en compte de l’accélération de traînée fournie par le fluide aux particules et la force de rétroaction correspondante crée un couplage fort du système d’équations. Nous prenons d'abord en compte, en plus des interactions présentées ci-dessus, les effets de l’humidité de l’air sur la taille et la température des particules en introduisant des équations de convection-diffusion ainsi qu'en intégrant la variation de la taille et de la température des particules dans les équations. Nous démontrons alors l’existence de solutions faibles globales dans un domaine borné dépendant du temps puis nous présentons quelques expérimentations numériques. Enfin, nous étudions des régimes de haute friction pour le système de Vlasov-Navier-Stokes présenté précédemment. Nous définissons un cadre permettant de traiter rigoureusement ces limites hydrodynamiques lorsque les particules sont légères ou petites par rapport au fluide.

We consider fluid-kinetic models that describe the evolution of particles flowing through a fluid under the assumption that the latter can be described by macroscopic quantities, its velocity and pressure, thanks to the incompressible Navier-Stokes equations. As for the particle spray, it is described at the mesoscopic scale by its density function in the phase space, which obeys a Vlasov-type equation. Taking into account the drag acceleration exerted by the fluid on the particles and the corresponding drag force leads to a strong coupling of the system of equations under study. First, we take into account, in addition to the interactions presented above, the effects of the airway humidity on the particle size and temperature by introducing convection-diffusion equations as well as integrating the size and temperature variations into the equations. We prove the existence of global weak solutions in a time-dependent domain and present some numerical experiments. Finally, we study several high-friction regimes for the Vlasov-Navier-Stokes system presented above. We define a framework allowing to properly justify these hydrodynamic limits in the case where the particles are light (resp. small) with respect to the fluid.