Équations d'évolution avec applications à la dynamique des populations

Evolution equations with applications to population dynamics

• Auteur / Autrice : Elisa Affili
• Direction : Luca Rossi, Enrico Valdinoci
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 11/03/2021
• Etablissement(s) : Sorbonne université en cotutelle avec Università degli studi (Milan, Italie)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre d'analyse et de mathématique sociales (Paris ; Marseille)
• Jury : Président / Présidente : Luis Manuel Lopes Neves de Almeida
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Henri Berestycki, Fabiana Leoni, Sepideh Mirrahimi

Mots clés

Mots clés contrôlés

Équations de réaction-diffusion

Équations d'évolution non linéaires

Biomathématiques

Mots clés libres

Dynamique des populations

Mathématiques biologiques

Modèles pour les espèces concurrentes

Dérivées fractionnaires

Ligne à diffusion rapide

Comportement asymptotique

Système de réaction-diffusion

Problème d'accessibilité

Dynamics of populations

Biological mathematics

Models for competing species

Fractional derivatives

Line with fast diffusion

Asymptomatic behaviour

Reaction-diffusion system

Reachability problem

Résumé

Le sujet principal de cette thèse est l'analyse des équations de l'évolution reflétant les questions d'écologie et de dynamique des populations. Dans la modélisation mathématique, l'impact des éléments environnementaux et l'interaction entre les espèces est lu dans le rôle de l'hétérogénéité dans les équations et les interactions dans les systèmes couplés. Dans cette direction, nous étudions trois problèmes distincts. Le premier traite l'évolution d'une population vivant dans un milieu périodique avec une ligne de diffusion rapide ; cela correspond à l'étude d'un système de réaction-diffusion avec des équations dans différentes dimensions. Nous obtenons des résultats sur le comportement asymptotique par l'étude de quelques valeurs propres principales généralisées. Nous constatons que la route n'a aucun impact sur les chances de survie de la population. La deuxième étude porte sur un modèle décrivant la compétition entre deux populations dans une situation d'interactions asymétriquement agressives ; il s'agit d'un système de deux EDO. L'évolution progresse à travers deux scénarios possibles, où une seule population survit. L'interprétation d'un des paramètres comme étant l'agressivité de l’attaquant soulève naturellement des questions de contrôlabilité. Nous caractérisons l'ensemble des conditions initiales menant à la victoire par une stratégie appropriée (éventuellement dépendante du temps). La troisième partie de cette thèse analyse la décroissance temporelle de certaines équations d'évolution avec des dérivées temporelles classiques et fractionnaires. Selon le type de dérivée et un certain degré de non-dégénérescence de l'opérateur spatial, des estimations quantitatives polynomiales ou exponentielles sont réalisées.

The main topic of this thesis is the analysis of evolution equations reflecting issues in ecology and population dynamics. In mathematical modelling, the impact of environmental elements and the interaction between species is read into the role of heterogeneity in equations and interactions in coupled systems. In this direction, we investigate three separate problems. The first problem addresses the evolution of a single population living in a periodic medium with a fast diffusion line; this corresponds to the study of a reaction-diffusion system with equations in different dimensions. Result on asymptotic behaviour are derived through the study of some generalised principal eigenvalues. We find that the presence of the road has no impact on the survival chances of the population, despite the deleterious effect expected from fragmentation. The second study regards a model describing the competition between two populations in a situation of asymmetrically aggressive interactions; this consists in a system of two ODEs. The evolution progresses through two possible scenarios, where only one population survives. The interpretation of one of the parameters as the aggressiveness of the attacker naturally raises questions of controllability. We characterise the set of initial conditions leading to the victory of the attacker through a suitable (possibly time-dependant) strategy. The third part of this thesis analyses the time decay of some evolution equations with classical and fractional time derivatives. Depending on the type of derivative and some degree of non-degeneracy of the spatial operator, quantitative polynomial or exponential estimates are entailed.