Méthodes d'analyse asymptotique et d'approximation numérique : problèmes d'évolution multi-échelles de type oscillatoire ou dissipatif

Some methods for asymptotic analysis and numerical approximation : multi-scale evolution problems, of oscillatory or relaxation behavior

• Auteur / Autrice : Léopold Trémant
• Direction : Philippe Chartier, Mohammed Lemou
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et leurs interactions
• Date : Soutenance le 08/12/2021
• Etablissement(s) : Rennes 1
• Ecole(s) doctorale(s) : MATHSTIC
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut national de recherche en informatique et en automatique (France). Unité de recherche (Rennes, Bretagne-Atlantique) - Institut de recherche mathématique (Rennes ; 1996-....) - Institut national de recherche en informatique et en automatique (France). Unité de recherche (Rennes, Bretagne-Atlantique)
• Jury : Président / Présidente : François Castella
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Pauline Lafitte-Godillon, Katharina Schratz‎, Gilles Vilmart
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Pauline Lafitte-Godillon, Katharina Schratz‎

Mots clés

Mots clés contrôlés

Approximation numérique

Analyse fonctionnelle

Mots clés libres

Décomposition micro-Macro

Précision uniforme

Relaxation rapide

Moyennisation

Micro-Macro decomposition

Uniform accuracy

Stiff relaxation

Averaging

Résumé

Les problèmes à relaxation rapide apparaissent dans de nombreux systèmes physiques ou biologiques, notamment dans le cadre de modèles cinétiques avec collisions. Leur comportement mélange une dynamique de relaxation de temps caractéristique epsilon et une partie lente d'interactions (généralement non-linéaire) ou de transport. Malgré le développement depuis les années 1980 de méthodes de résolution adaptées peu coûteuses (i.e. stables et essentiellement explicites), un problème demeure: la précision des méthodes est dégradée lorsque le pas de discrétisation est d'ordre epsilon. Dans ce manuscrit, on présente une méthode pour dépasser cette limite. L'approche mise en œuvre consiste à effectuer des développements asymptotiques par rapport au paramètre epsilon de sorte à pouvoir séparer le modèle asymptotique et son erreur; on parle alors d'un problème micro-macro. Ce nouveau problème peut être résolu numériquement et on reconstruit la solution du problème d'origine avec une précision indépendante du paramètre epsilon. Nos développements asymptotiques font appel à des résultats récents de moyennisation, si bien qu'un chapitre de ce manuscrit est dédié à l'exposition de preuves originales de certains résultats de moyennisation connus. On discute en outre d'extensions possibles de nos résultats.

Stiff relaxation problems appear in numerous physical and biological systems, most notably in kinetic models with collisions. The solutions of such problems present two dynamics which are intertwined: a relaxation of characteristic time epsilon, and a slow part of interactions or transport. Since the 1980s, efficient and stable methods have been developed to solve these problems numerically, however one issue remains: the accuracy of the method degrades when the time-step is of size epsilon. In this work, we present a method to overcome this limit. Our approach consists in performing asymptotic developments with relation to epsilon to construct an *non-stiff* asymptotic model and its error. We then consider this asymptotic behavior and the error separately -- this is a micro-macro decomposition. This new problem may be solved and the solution of the original problem recovered, all with an accuracy independent of epsilon. As our asymptotic developments use results from averaging, a chapter of this work is dedicated to averaging results. Specifically, we present original proofs of known results, using recent frameworks which make algebraic reasonings straightforward. A brief discussion surrounding possible extensions of our results is conducted at the end of the manuscript.