Ensembles basiques pour les groupes symétriques et alternés, involution de Mullineux.

Basic sets for symmetric and alternating groups, Mullineux involution.

• Auteur / Autrice : Ana Bernal arango
• Direction : Nicolas Jacon
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 08/12/2021
• Etablissement(s) : Reims
• Ecole(s) doctorale(s) : Ecole doctorale Sciences Fondamentales et Santé (Reims, Marne)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques de Reims (LMR) - CNRS UMR 9008 (Reims, France)
• Jury : Président / Présidente : Cédric Lecouvey
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Nicolas Jacon, Jean-Baptiste Gramain, Loic Poulain d andecy, Maria Chlouveraki, Rupert Wei Tze Yu, Olivier Brunat
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Jean-Baptiste Gramain

Mots clés

Mots clés contrôlés

Représentations d'algèbres

Combinatoire algébrique

Groupes, Théorie des -- Symétriques

Mots clés libres

Théorie des représentations

Involution de Mullineux

Groupe alterné

Groupe symétrique

Combinatoire Algébrique

Mullineux involution

Alternating group

Representation theory

Symmetric group

Algebraic combinatorics

Résumé

Dans cette thèse nous nous intéressons aux propriétés combinatoires de la théorie des représentations modulaires des groupes symétriques et alternés.Nous nous concentrons sur le problème de l’étiquetage des représentations irréductibles modulaires des groupes symétriques et alternés. Une façon naturelle d’aborder ce problème est de trouver des ensembles basiques unitriangulaires pour les matrices de décomposition. Une de nos principales motivations est liée à l’application de Mullineux, application qui contrôle la restriction du groupe symétrique au sous-groupe alterné. Dans le but d’avoir un étiquetage particulièrement bien adapté à cette restriction, on cherche des ensembles basiques unitriangulaires stables. De tels ensembles sont stables pour la conjugaison.Il apparaı̂t lors de notre étude le phénomène remarquable suivant : le nombre de partitions auto-conjuguées avec des longueurs des crochets diagonaux non divisibles par p, appelées BG-partitions, est égal au nombre de points fixes de l’application de Mullineux, ou partitions autoMullineux. Nous montrons une correspondance combinatoire explicite entre les deux ensembles de partitions.Récemment il a été montré qu’il n’existe pas toujours un ensemble basique unitriangulairepour le groupe alterné. Cependant, ces notions peuvent être définies au niveau des blocs. Nous étudions l’application de Mullineux dans les blocs auto-conjugués de p-poids 2 du groupe symétrique et nous exhibons un ensemble basique unitriangulaire stable pour ces blocs, ce qui implique l’existence d’ensembles basiques unitriangulaires pour certains blocs des groupes alternés.

This thesis concerns combinatorial properties of the modular representation theory of thesymmetric and alternating groups.We focus on the problem of labelling the modular irreducible representations of the symmetric and alternating groups. A natural way to approach this is through unitriangular basic sets for the decomposition matrices. One of our main motivations is related to the Mullineux map, which controls the restriction from the symmetric group to the alternating subgroup. In order to have a labelling which is particularly well adapted to this restriction, we look for stable unitriangular basic sets. Such sets are stable for conjugation.In our study, the following remarkable phenomenon is observed: the number of self-conjugate partitions with diagonal hook-lengths not divisible by p, called BG-partitions, is equal to the number of fixed points of the Mullineux map, or self-Mullineux partitions. We give a combinatorial and explicit correspondence between the two sets of partitions.Recently it has been shown that there is not always a unitriangular basic set for the alternating group. However, these notions can be defined at the level of blocks. In this thesis, we study the Mullineux map in self-conjugate blocks of p-weight 2 of the symmetric group and we construct a stable unitriangular basic set for these blocks, which implies the existence of unitriangular basic sets for some blocks of the alternating groups.