Valeurs extrêmes de processus de branchement spatiaux

Extreme values of spatial branching processes

• Auteur / Autrice : Mohamed Ali Belloum
• Direction : Yueyun Hu, Bastien Mallein
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Doctorat mathematiques
• Date : Soutenance le 07/12/2021
• Etablissement(s) : Paris 13
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Galilée (Villetaneuse, Seine-Saint-Denis)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Analyse, géométrie et applications (LAGA) (Villetaneuse, Seine-Saint-Denis)
• Jury : Président / Présidente : Bénédicte Haas
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Bastien Mallein, Bénédicte Haas, Thomas Duquesne, Arvind Singh
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Pascal Maillard, Nina Gantert

Mots clés

Mots clés contrôlés

Modèles mathématiques

Marches aléatoires (mathématiques)

Physique statistique

Mouvement brownien, Processus de

Mots clés libres

Valeurs extrêmes

Processus de branchement

Marche aléatoire branchante

Extreme values

Branching processes

Branching random walk

Résumé

Dans cette thèse, on s'intéresse aux valeurs extrêmes de certains processus de branchement spatiaux tels que la marche aléatoire branchante et le mouvement Brownien branchant. La marche aléatoire branchante est un système de particule qui peut être modélisé de la façon suivante. On part d'une seule particule à la génération 0. Elle donne naissance à un nombre aléatoire d'enfants positionnés autour de leur parent selon un processus de points. Puis chaque enfant répète le même processus  que celui de son parent indépendamment des autres particules. Le mouvement brownien branchant peut être décrit de manière similaire. On commence toujours avec une seule particule située à l'origine à l'instant t=0. Elle se déplace selon un mouvement Brownien standard. Après un temps exponentiel de paramètre 1, elle meurt en donnant naissance à deux enfants. Puis chacun des deux enfants commence à son tour un mouvement Brownien branchant indépendant. Dans la première partie de cette thèse on étudie un modèle qui interpole entre la marche aléatoire  branchante et un modèle lié à la physique statistique appelé Random Energy Model (REM). Le deuxième et le troisième chapitre sont consacrés à l'étude des valeurs extrêmes de certains modèles de branchement multitype. Plus précisément, on étudie le comportement asymptotique du processus extrémal d'un mouvement Brownien branchant multitype réductible.

In this thesis, we are interested in extreme values of certain spatial branching processes such as the branching random walk and the branching Brownian motion. The branching random walk is a particle system that can be described as follows. It starts with an unique particle at generation 0. It gives birth to a random number of children positioned with respect to their parent according to a point process. Then, each child repeats the same process to that of his parent and independently of the rest of particles. The branching Brownian motion can be described similarly. It starts with an unique particle at the origin. It moves according to a standard Brownian motion. After an exponential time, it dies giving birth to two children on its current position. Then, each child starts an independent branching Brownian motion.In the first part of this thesis, we study a model that interpolates between the branching random walk and a model linked to statistical physics which called Random energy model (REM). The next part of this thesis is devoted to the study of the extreme values of certain multitype branching processes. More precisely, we study the asymptotic behaviour of the extremal process of a reducible branching Brownian motion