Équations de réaction diffussion et application au contrôle biologique de la dengue et de l'inflammation

Reaction-diffusion equations and applications to biological control of dengue and inflammation

• Auteur / Autrice : Ana Isis Toledo Marrero
• Direction : Hatem Zaag, Grégoire Nadin
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathematiques
• Date : Soutenance le 15/01/2021
• Etablissement(s) : Paris 13
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Galilée (Villetaneuse, Seine-Saint-Denis)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Analyse, géométrie et applications (LAGA) (Villetaneuse, Seine-Saint-Denis)
• Jury : Président / Présidente : Nicolas Vauchelet
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Matthieu Alfaro, Danielle Hilhorst, Eric Ogier-Denis
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Elisabeth Logak, Lionel Roques

Mots clés

Mots clés contrôlés

Test de Turing

Maladie de Crohn

Équations intégrales -- Solutions numériques

Équations de réaction-diffusion

Virus de la dengue

Mots clés libres

Équations de réaction-diffusion

Biologie de la conservation

Turring patterns

Maladies inflammatoires

Reaction-Diffusion equation

Control

Conservation biology

Résumé

Cette thèse est consacrée à l’étude de deux problèmes issus de la biologie et de la médecine. Le premier est motivé par une technique de contrôle biologique pour l’éradication de l’épidémie de la dengue transmise par des moustiques. Une bactérie, dont les effets chez les moustiques inhibent la transmission de ce virus, est inoculée à un certain nombre des moustiques qui sont ensuite relâchés dans l’environnement. L’évolution de cette partie de la population porteuse de la bactérie peut être décrite par une équation de réaction-diffusion. On s’intéresse particulièrement à maximiser la population totale de moustiques porteurs de cette bactérie après un certain temps. Il s’agit d’une quantité dépendant de la solution de l’équation, que l’on maximise par rapport à la donnée initiale sous certaines contraintes. L’existence et la régularité des solutions à ce problème d’optimisation, ainsi qu’une caractérisation partiale de la donnée initiale optimale sont établies grâce à l’étude des conditions d’optimalité de premier et deuxième ordre. Un algorithme numérique, inspiré de la méthode classique de montée de gradient et tirant parti des conditions d’optimalité est décrit, permettant une approximation numérique des maximas locaux de ce problème. D’autre part, un modèle décrivant la dynamique des cellules immunitaires et des bactéries pathogènes dans les tissus de l’intestin est introduit. Un système de réaction-diffusion est considéré, l’objectif étant d’expliquer les motifs inflammatoires inégaux observés chez les patients souffrant de la maladie de Crohn. Une analyse de stabilité est réalisée et des conditions menant à l’apparition d’instabilités de Turing sont énoncées; ces instabilités pouvant être interprétées comme les patterns inflammatoires. Des valeurs réalistes des paramètres, pour lesquels ce phénomène se produit, sont calculées ou extraites de la littérature existante, des simulations numériques sont également réalisées

This thesis is devoted to the study of two problems arising from biology and medicine. The first model is motivated by a new technique to eradicate mosquito-borne diseases such as the dengue virus. A certain number of mosquitoes, inoculated with a bacterium inhibiting mosquito-borne disease transmissionto humans are released in the environment. The evolution of this subset of the mosquito populationcan be described by means of a reaction-diffusion equation. The problem we address here concernsthe maximization of the total number of carrying individuals after a certain prescribed time, which is aquantity depending on the solution of the equation. We maximize this quantity with respect to the initialdatum under certain size constraints. Existence and regularity results as well as a partial characterizationof optimizers are stated by means of the study of the first and second order optimality conditions. Anumerical algorithm, inspired by the classical ascent of gradient and taking advantage of the theoreticalresults we obtain here is described, allowing a numerical approximation of local optimizers.On the other hand, a model describing the dynamics of immune cells and pathogenic bacteria in thegut tissues is introduced. More precisely, a reaction-diffusion system is considered with the purpose ofexplaining the patchy inflammatory patterns observed in patients suffering from Crohn’s disease. Weperform a stability analysis enabling us to identify conditions driving to the occurrence of Turing instabilities.Such instabilities could be interpreted as the patchy inflammatory patterns. Realistic parametervalues for which this phenomenon arises are either computed or retrieved from the existent literature andnumerical simulations are performed as well