Marches Aléatoires, Branchement, et Arbres

Random Walks, Branching, and Trees

• Auteur / Autrice : Tianyi Bai
• Direction : Yueyun Hu
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Doctorat mathematiques
• Date : Soutenance le 22/06/2021
• Etablissement(s) : Paris 13
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Galilée (Villetaneuse, Seine-Saint-Denis)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Analyse, géométrie et applications (LAGA) (Villetaneuse, Seine-Saint-Denis)
• Jury : Président / Présidente : Bénédicte Haas
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Nicolas Curien, Shen Lin
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Mohamed-Amine Asselah, Nina Gantert

Mots clés

Mots clés contrôlés

Processus stochastiques

Théorèmes des limites (théorie des probabilités)

Arbres (théorie des graphes)

Marches aléatoires (mathématiques)

Mots clés libres

Arbre de Gaston-Watson

Marche aléatoire branchante

Temps de recouvrement

Galton-Watson trees

Branchin random walk

Cover time

Résumé

Depuis ces dernières décennies, l’analyse multi-échelle a montré sa grande importance dans la théorie de probabilité, on peut citer par exemple les travaux de Dembo,Peres, Rosen et Zeitouni (2000–2004) sur les points épais du mouvement brownien et marche aléatoire dans le plan (et en dimension supérieure), et plus récemment les travaux de Bramson et Zeitouni (2012), Ding et Zeitouni (2014) sur le aximum du champ gaussien libre, et ceux de Ding, Lee et Peres (2012), Belius et Kistler (2017), Belius, Rosen et Zeitouni (arXiv 2017+) sur le temps de recouvrement. Le sujet de cette thèse a pour objectif d’étudier certains problèmes de l’analyse multi-échelle pour les marches aléatoires biaisées dans un arbre.

In this thesis, we are interested in random walks random walks on Galton-Watson trees and tree-indexed random walks. Firstly, we study the -biasedwalk on a Galton-Watson tree, and deduce the scaling limit of its cover time,i.e. the time that every vertex is visited. Secondly, we study the capacity, inthe sense of potential theory, of a branching random walk in Zd, and deduceits asymptotic for all dimensions d 3. Thirdly, we study the spread of abranching random walk conditioned on rarely survival, and give its limitingbehavior in the sense both of genealogy and of spatial distribution.