Cohomologie de Quillen des opérades enrichies
Auteur / Autrice : | Manh Truong Hoang |
Direction : | Yonatan Harpaz |
Type : | Thèse de doctorat |
Discipline(s) : | Mathematiques |
Date : | Soutenance le 29/01/2021 |
Etablissement(s) : | Paris 13 |
Ecole(s) doctorale(s) : | École doctorale Galilée (Villetaneuse, Seine-Saint-Denis) |
Partenaire(s) de recherche : | Laboratoire : Laboratoire Analyse, géométrie et applications (LAGA) (Villetaneuse, Seine-Saint-Denis) |
Jury : | Président / Présidente : Bruno Vallette |
Examinateurs / Examinatrices : Geoffroy Horel, Muriel Livernet, Rune Haugseng | |
Rapporteur / Rapporteuse : Damien Calaque |
Résumé
Un aperçu moderne dû à Quillen, qui est développé par Lurie, affirme que de nombreuses théories de cohomologie de l’intérêt sont des cas particuliers d’une construction unique, ce qui permet de définir des groupes de cohomologie dans un réglage abstrait en utilisant uniquement les propriétés intrinsèques de la catégorie (ou infinie-catégorie) à portée de main. Cette théorie universelle de la cohomologie est connue sous le nom de cohomologie de Quillen. Dans n’importe quel contexte, la cohomologie Quillen d’un objet d’intérêt est classée par son complexe cotangent. L’objectif principal de ce document est d’étudier la cohomologie Quillen des opérades enrichies, en travaillant dans le cadre de catégories modèles. Notre résultat principal fournit une formule explicite pour le calcul de la cohomologie Quillendes opérades enrichies, basée sur une procédure de prise de certains modèles infinitésimaux de leurs complexes cotangents. Nous nous intéressons particulièrement à la cohomologie Quillen des opérades simpliciales et dg-opérades. Il existe une construction naturelle de la infinie-catégorie de flèches torsadées d’un opérade simpliciale, qui étend la notion de infinie-catégorie de flèches torsadées d’une infinie-catégorie. Nous affirmons que le complexe cotangent d’un opérade simpliciale peut être représenté comme un foncteur valorisé en spectres sur sa catégorie de flèches torsadées. En ce qui concerne le contexte des dg-opérades, la situation devient plus simple en raison de la stabilité des dg-modules. Le complexe cotangent d’un dg-opérade est en fait étroitement lié à son module des différentielles de Kähler via une séquence cofibre. En plus decela, nous prouvons l’existence d’une version opéradique pour la correspondance de Dold-Kan, puis en raison de cela nous trouvons un lien entre la cohomologie Quillen d’un opérade simpliciale et la cohomologie Quillen de son dg-opérade associé. Enfin, dans la dernière section, nous établissons la relation entre la théorie des déformations et la cohomologie de Quillen