Thèse soutenue

Etude mathématique d’un modèle de plasma et de la turbulence en mécanique des fluides
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Auteur / Autrice : Jin Tan
Direction : Raphaël DanchinFrançois Vigneron
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques
Date : Soutenance le 30/09/2021
Etablissement(s) : Paris 12
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, Sciences et Technologies de l'Information et de la Communication
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire d'Analyse et de Mathématiques Appliquées - Laboratoire Analyse et Mathématiques Appliquées / LAMA
Jury : Président / Présidente : Isabelle Gallagher
Examinateurs / Examinatrices : Raphaël Danchin, François Vigneron, Daniel Han-Kwan, Franck Sueur, Evelyne Miot, Eric Dumas, Hajer Bahouri
Rapporteurs / Rapporteuses : Daniel Han-Kwan, Franck Sueur

Résumé

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Cette thèse est consacrée à l’étude mathématique de deux modèles différents: le système de la magnéto-hydrodynamique prenant en compte l’effet Hall (Hall-MHD), et d’une équation scalaire de type Burgers avec terme non local et diffusion non linéaire.Le système Hall-MHD décrit l’évolution temporelle d’un plasma tridimensionnel. Nous nous intéressons aux questions d’existence (locale dans le temps pour les grandes données ou globale dans le temps pour les petites données) et d’unicité pour le système Hall-MHD couplé à une vitesse et un champ magnétique initial dans des espaces de régularité critique, dans l’esprit du théorème de Fujita-Kato et, plus tard, de Chemin pour les équations classiques de Navier-Stokes. Nous étudions les estimations de décroissance temporelle, le critère d’explosion et les propriétés de stabilité de ces solutions. Un énoncé d’unicité fort-faible est également prouvé. Lorsque les données du système Hall-MHD sont indépendantes de la variable verticale (les flux dits de dimension 2 1/2), nous établissons l’existence globale d’une solution forte, en supposant seulement que le champ magnétique initial est petit. Notre stratégie s’appuie fortement sur l’utilisation de champs vectoriels auxiliaires et d’une formulation impliquant ce que l’on appelle la vitesse de l’électron. La preuve est basée sur la théorie de Littlewood-Paley et la méthode de l’énergie.Dans la deuxième partie de cette thèse, nous nous concentrons sur l’étude d’une équation de Burgers non locale généralisée dans un domaine périodique multidimensionnel. Nous construisons des solutions classiques globales à partir de don- nées positives et régulières, et des solutions faibles globales à partir de données positives et bornées. Nous montrons que toute solution faible est instantanément régularisée en une fonction infiniment différentiable. Nous décrivons également le comportement asymptotique en temps long de toutes les solutions. Nos méthodes s’appuient sur plusieurs avancées récentes dans la théorie de la régularité des équations intégro-différentielles paraboliques.Mots-clé:Magnéto-hydrodynamique, effet Hall, problème bien posé, régularité critique, asymptotique en temps long, critères d’explosion, unicité fort-faible, équation de Burgers non locale, estimations de Schauder.