Thèse soutenue

Cohérence de grandes matrices aléatoires. Théorèmes limites et applications

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Auteur / Autrice : Maxime Boucher
Direction : Marguerite ZaniDidier Chauveau
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques
Date : Soutenance le 18/06/2021
Etablissement(s) : Orléans
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, Informatique, Physique Théorique et Ingénierie des Systèmes (Centre-Val de Loire ; 2012-....)
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Denis Poisson (Orléans, Tours ; 2018-....)
Jury : Président / Présidente : Ghislaine Gayraud
Examinateurs / Examinatrices : Didier Chauveau, Ghislaine Gayraud, Christophe Biernacki, Romain Couillet, Laurent Delsol
Rapporteurs / Rapporteuses : Ghislaine Gayraud, Christophe Biernacki

Résumé

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Cette thèse concerne l'étude de la τ -cohérence d'une matrice d'observations aléatoires de grande taille (n × p) où p >> n et avec p le nombre de variables observées sur n individus. La τ -cohérence est alors définie comme étant le maximum, en valeur absolue, des coefficients de la matrice de corrélation empirique associée, en dehors d'une bande centrale de largeur τ. Le premier chapitre est consacré à la présentation de la méthode de Chen-Stein qui permet l'approximation d'événements faiblement dépendants par une loi de Poisson et à la présentation des travaux de T. Cai et T. Jiang concernant la cohérence. Les deuxième et troisième chapitres sont consacrés à l'étude du comportement asymptotique de la τ -cohérence dans le cas où les observations proviennent d'un modèle gaussien et où la matrice de covariance possède une structure par bandes (chapitre 2) ou par blocs (chapitre 3). Dans le chapitre 4, nous présentons une méthode de simulation par réplications Monte-Carlo pour étudier numériquement la distribution asymptotique de la τ -cohérence. Nous utilisons des stratégies de découpage de nos matrices et des techniques HPC telles que le calcul en GPU pour, d'une part pouvoir calculer des corrélations sur des matrices trop grandes pour être stockées, et d'autre part réduire le temps de calcul. Nous présentons en annexe de ce manuscrit des éléments de preuves supplémentaires.