Etude ergodique de bêta-transformations aléatoires

Ergodic study of random beta-transformations

• Auteur / Autrice : Younes Tierce
• Direction : Thierry De la Rue
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathematiques
• Date : Soutenance le 09/12/2021
• Etablissement(s) : Normandie
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale mathématiques, information et ingénierie des systèmes (Caen)
• Partenaire(s) de recherche : Etablissement de préparation de la thèse : Université de Rouen Normandie (1966-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques Raphaël Salem (Saint-Etienne-du-Rouvray, Seine-Maritime ; 2000-...)
• Jury : Président / Présidente : Yves Coudène
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Jean-Baptiste Bardet, Pierre Calka, Élise Janvresse, Françoise Pène
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Karma Dajani, Benoît Rittaud

Mots clés

Mots clés contrôlés

Théorie ergodique

Numération

Transformations (mathématiques)

Systèmes dynamiques aléatoires

Mots clés libres

Ecriture en base non entière

Système dynamique aléatoire

Extension naturelle

Transformation induits

Autocouplage

Bernoullicité

Expansion in non-integer base

Random dynamical system

Natural extension

Induced transformation

Self-joining

Bernoulli automorphism

Résumé

On s'intéresse aux écritures des réels en base non entière. Après avoir rappelé la construction de l'extension naturelle du système dynamique associé à la transformation dite "greedy" (Dajani, Kraaikamp et Solomyak), on construit une version géométrico-symbolique de l'extension naturelle de la transformation bêta-aléatoire, introduite par Dajani et Kraaikamp. Cette extension permet de retrouver l'existence et l'unicité de la mesure invariante absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue, et fournit une expression de sa densité ainsi que l'ergodicité du système aléatoire. On démontre enfin que cette extension naturelle est isomorphe à un schéma de Bernoulli, généralisant ainsi au cas aléatoire le résultat de Smorodinski sur la transformation greedy.

We work on the expansions of real numbers in non integer bases. We recall the construction of the natural extension of the greedy transformation introduced by Dajani, Kraaikamp and Solomyak. We then construct a geometrico-symbolic version of the natural extension of the random beta-transformation introduced by Dajani and Kraaikamp. This construction provides a new proof of the existence and uniqueness of an absolutely continuous invariant probability measure for the random beta-transformation, an expression for its density and the ergodicity of the random system. We then prove that this natural extension is a Bernoulli automorphism, generalising to the random case the result of Smorodinsky about the greedy transformation.