Solutions renormalisées d'une classe de problèmes elliptiques quasi-linéaires avec saut : existence, unicité et homogénéisation.

par Rheadel Fulgencio

Thèse de doctorat en Mathematiques

Sous la direction de Patrizia Donato et de Olivier Guibé.


  • Résumé

    Dans cette thèse, nous étudions une classe de problèmes elliptiques quasilinéaires posés dans un domaine à deux composantes avec une donnée L 1 et son analyse asymptotique. Plus précisement, on considère un domaine Ω, que l’on écrit comme une réunion disjointe Ω = Ω1 ∪ Ω2 ∪ Γ, où les ensembles ouverts Ω1 et Ω2 sont les deux composantes de Ω, et Γ est l’interface entre les composantes. Nous étudions le problème elliptique quasi-linéaire suivant posé dans Ω :−div(B(x, u1)∇u1) = f in Ω1,−div(B(x, u2)∇u2) = f in Ω2,(B(x, u1)∇u1)υ1 = (B(x, u2)∇u2)υ1 on Г,(B(x, u1)∇u1)υ1 = −h(x)(u1 − u2) on Г,u1 = 0 on ∂Ω,où υ1 est le vecteur normal unitaire extérieur à Ω1, f 2 L 1 (Ω) et B est une matrice coercitive qui vérifie une hypothèse assez générale (B(x, r) n’est pas uniformément borné mais borné sur tout ensemble compact de R). La première partie de cette thèse est donc dédiée à des résultats d’existence et d’unicité de ce problème dans le cadre des solutions renormalisées, qui a été introduit par R.J. DiPerna et P.L. Lions. Dans la deuxième partie, nous étudions l’homogénéisation d’un problème du même type, posé dans un domaine à deux composantes dont la deuxième est une réunion périodique d’ensembles déconnectés, en mélangeant la notion des solutions renormalisées et la méthode de l’éclatement périodique. Cette méthode a été introduite par D. Cioranescu, A. Damlamian and G. Griso et adaptée aux domaines à deux composantes par P. Donato, K.H. Le Nguyen, et R. Tardieu. Pour obtenir un résultat d’unicité pour le problème homogénéisé qui puisse assurer que les convergences obtenues sont valables pour toute la suite du paramètre de périodicité (et non pas à une sous-suite près), nous étudions les propriétés du problème périodique correpondant, posé dans la cellule de référence. En particulier, nous démontrons que si la matrice A(y, t) du problème dans la cellule de référence est localement lipschitzienne par rapport à t, alors la matrice homogénéisée résultante A0 (t) garde cette propriété.

  • Titre traduit

    Renormalized solutions to a class of quasilinear elliptic problems with weak data : existence, uniqueness and homogenization


  • Résumé

    In this thesis, we study a class of quasilinear elliptic equations posed in atwo-component domain with an L1 data and its asymptotic analysis. More precisely, we consider a two-component domain, denoted by Ω, which can be written as the disjoint union Ω = Ω 1 ∪ Ω 2 ∪ Г, where the open sets Ω 1 and Ω 2 are the two components of Ω, and Г is the interface between thesecomponents. We study the following quasilinear elliptic problem posed in Ω:−div(B(x, u1)∇u1) = f in Ω1,−div(B(x, u2)∇u2) = f in Ω2,(B(x, u1)∇u1)υ1 = (B(x, u2)∇u2)υ1 on Г,(B(x, u1)∇u1)υ1 = −h(x)(u1 − u2) on Г,u1 = 0 on ∂Ω,where υ1 is the unit outward normal to Ω1, f is an L1 function, and B is a coercive matrix field which has a restricted growth assumption (B(x, r) is bounded on any compact set of R). The first part of this thesis is dedicated to existence and uniqueness results for this problem in the framework of renormalized solutions, which was introduced by R.J. DiPerna and P.L. Lions. In the second part, we study the corresponding homogenization problem for a two-component domain with a (disconnected) periodic second component by combining the notion of renormalized solutions and the periodic unfolding method, introduced D. Cioranescu, A. Damlamian and G. Griso. It has been successively adapted to two-component domains by P. Donato, K.H. Le Nguyen, and R. Tardieu. In order to obtain a uniqueness result for the homogenized problem, we study the properties of the corresponding cell problem. In particular, we show that if the matrix field in the cell problem, denoted A(y, t), is local Lipschitzcontinuous with respect to t, then the resulting homogenizedmatrix A0 keeps this property. This uniqueness result ensures that the convergences obtained in the homogenization process hold for the whole sequence of the periodicity parameter (and not only a subsequence).


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Informations

  • Sous le titre : Solutions renormalisées d'une classe de problèmes elliptiques quasi-linéaires avec saut : existence, unicité et homogénéisation
  • Détails : 1 vol. (200 p.)
  • Annexes : Bibliogr. 83 références
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