Modèles mathématiques et applications à l'environnement : analyse mathématique et approximation numérique

Optimal control and applications to the environment : mathematical analysis and numerical approximation

• Auteur / Autrice : Nacer Sellila
• Direction : Mohammed Louaked
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 03/12/2021
• Etablissement(s) : Normandie
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale mathématiques, information et ingénierie des systèmes (Caen)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques Nicolas Oresme (Caen ; 2002-....)
• Partenaire(s) de recherche : établissement de préparation : Université de Caen Normandie (1971-....)
• Jury : Président / Présidente : François Jouve
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Mohammed Louaked, Laurent Di Menza, Vincent Giovangigli, Abderrahim El Moataz, Houari Mechkour, Muriel Boulakia
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Laurent Di Menza, Vincent Giovangigli

Mots clés

Mots clés contrôlés

Matériaux poreux

Systèmes hyperboliques

Équations différentielles paraboliques

Commande, Théorie de la

Mots clés libres

Îlots de chaleur urbaines

Compressibilité artificielle

Contrôle optimal

Méthode des caractéristiques

Estimations des erreurs

Algorithme de Gradient Projeté

Algorithme de Descente

Algorithme Lagrangien augmenté

Urbain Heat Island

Porous media

Artificial compressibility

Pointwise control problem

Parabolic equation

Hyperbolic system

Characteristic method

Error estimates

Spectral Project Gradient Algorithm

Algorithm of Descent

Augmented Lagragian Algorithm

Résumé

Cette thèse s'articule autour du contrôle optimal et ses applications à des phénomènes naturels tels que les îlots de chaleurs dans des milieux urbains, la pollution dans un environnement marin afin de préserver l'environnement et l'écosystème. Les points d'intérêts des applications de cette thèse rentrent ainsi dans les initiatives internationales et gouvernementales sur les transitions écologiques, énergétiques et aussi du point de vue économique.Pour répondre aux problématiques citées auparavant, nous explorons différents types de modèles. Des modèles mathématiques paraboliques et hyperboliques sont introduits tels que le modèle Navier-Stokes Forchheimer instationnaire couplé avec les équations de Fourier pour les îlots de chaleur urbains, le modèle du transport avec second membre de type Dirac couplé avec les modèle des eaux peu profondes pour la pollution marine et le modèle stationnaire de Navier-Stokes Forchheimer dans le cas de la migration des poissons des eaux salés vers les eaux douces à travers une structure hydraulique du type passe à poissons.Dans un premier temps, nous avions analysé ces modèles de manière théorique liée à l'existence et l'unicité de la solution et les estimations d'erreurs des modèles perturbés par rapport aux modèles originaux.L'étape suivante consistait à une analyse numérique de certaines méthodes éléments finis pour l'approximation des modèles environnementaux.Les applications ont pour objectif de minimiser la chaleur dans des villes urbaines, la pollution dans le milieu marin ainsi les effets tourbillonnaires dans les passes à poissons. Nous utilisons des algorithmes du type gradient projeté pour optimiser l'emplacement des espaces vert en milieu urbain comme solution du problème d'îlots de chaleur, et la descente du gradient à pas fixe pour minimiser la pollution marine où le gradient de la fonction coût est lié au système adjoint et dans le cas des passes à poissons, la technique d'optimisation topologique de type Lagrangienne. Nous avions implémentés les méthodes proposées sous Freefem++ et nous avions mis en évidence la précision et la robustesse des méthodes numériques suggérées.

In this work, we are interested to the optimal control and its applications to some natural phenomena such as heat islands in urban environments, marine pollution in order to preserve the environment and the ecosystem.The interest points of the applications of this thesis fit into international and governmental initiatives on ecological, energy and also economic transitions. To propose solutions to the problems mentioned above, we explore different types of models. Parabolic and hyperbolic mathematical models are introduced such as the unsteady Navier-Stokes Forchheimer model coupled with the Fourier equations for urban heat islands, pointwise control of parabolic problems governed by the linear convection-diffusion coupled with the shallow water models for the marine pollution and the stationary Navier-Stokes Forchheimer model in the case of the migration of fish from salt water to fresh water through a hydraulic structures of the fishways types.Firstly, we analyzed these models in a theoretical way by studying the existence and the uniqueness of the model solution and give an error estimates between solutions of the perturbed models compared to the original model.The second step consisted to the numerical analysis of some finite element methods approximation to these environmental models.The objective is to minimize the heat in urban cities, pollution in the marine environment and the turbulent effects in the fishways.We use algorithms of the projected gradient type to optimize the location of the green spaces in urban areas as a solution to the problem of heat islands, the descent of the gradient with fixed step to minimize marine pollution where the gradient of the cost function is related to the adjoint state. In the case of the fishways, we use the Lagrangian type topological optimization technique.We implemented these methods proposed under Freefem++ software and we bring out the precision and the robustness of these suggested numerical methods.