Sur quelques identités entre les valeurs spéciales des fonctions L

Οn sοme identities between special values οf L-functiοns

• Auteur / Autrice : Huy Hung Le
• Direction : Tuan Ngo Dac, Bruno Anglès
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 26/11/2021
• Etablissement(s) : Normandie
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale mathématiques, information et ingénierie des systèmes (Caen)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques Nicolas Oresme (Caen ; 2002-....)
• Partenaire(s) de recherche : établissement de préparation : Université de Caen Normandie (1971-....)
• Jury : Président / Présidente : Federico Pellarin
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Tuan Ngo Dac, Bruno Anglès, Hassan Oukhaba, Cécile Armana, Fabien Mehdi Pazuki
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Federico Pellarin, Hassan Oukhaba

Mots clés

Mots clés contrôlés

Fonctions L

Drinfeld, Modules de

Bernoulli, Polynômes de

Fonctions zêta

Mots clés libres

Valeurs zêta

Valeurs zêta dans les algèbres de Tate

Valeurs zêta de Goss

Valeurs zêta multiples

Olynômes à plusieurs variables de type Bernoulli

Module Carlitz

Module Drinfeld de rang un

Zeta values

Zeta values in Tate algebras

Goss zeta values

Multiple zeta values

Bernoulli-type polynomials

Drinfeld modules

Carlitz module

Rank one Drinfeld modules

Résumé

L'objectif principal de cette thèse est d'étudier les relations entre certaines valeurs zêta spéciales. Il contient 6 chapitres.Le premier chapitre est consacré à présenter quelques définitions et propriétés de base des modules de Drinfeld, les modules de Carlitz, ses objets associés (tels que la carte exponentielle de Carlitz et la période de Carlitz) et les algèbres de Tate dans plusieurs variables. Le deuxième chapitre est de présenter un polynôme spécial à plusieurs variables qui est étroitement lié aux valeurs zêta dans les algèbres de Tate.Dans le chapitre 3, nous étudions les valeurs zêta dans les algèbres de Tate qui sont introduites par Pellarin en 2012. Nous donnons une réponse affirmative à une conjecture de Pellarin sur les identités pour ces valeurs zêta. Nous suggérons également une conjecture sur les coefficients des polynômes spéciaux à plusieurs variables mentionnés au chapitre 2. Nous étudions plus en détail cette conjecture au chapitre 4.Dans le chapitre 5, nous travaillons avec les valeurs zêta de Goss. Nous généralisons les résultats de Speyer (2017) dans le contexte des modules Drinfeld de rang un.Enfin, au chapitre 6, nous étudions les valeurs zêta multiples introduites par Thakur en 2004. Nous prouvons une conjecture de Lara Rodriguez et Thakur qui donne une liste complète de zeta-like de profondeur 2 de poids borné. Nous donnons également un résultat similaire sur la détermination complète de tous les poids de type zêta de cette borne.Enfin, dans le chapitre 6, nous étudions les valeurs zêta multiples introduites par Thakur en 2004. Nous prouvons une conjecture de Lara Rodriguez et Thakur qui donne une liste complète de zeta-like de profondeur deux de poids spécifique borné. Nous donnons également un résultat similaire pour déterminer complètement tous les zeta-likes de cette borne.

The main goal this thesis is to study the relations among some special zeta values. It contains 6 chapters.The first chapter is devoted to present some basic definitions and properties of Drinfeld modules, the Carlitz modules, its related objects (such as the Carlitz exponential map and the Carlitz period) and Tate algebras in several variables. The second chapter is to present a special several variable polynomial which is closely related to the zeta values in Tate algebras.In Chapter 3, we study the zeta values in Tate algebras which is introduced by Pellarin in 2012. We give an affirmative answer to a conjecture of Pellarin about identities for these zeta values. We also suggest a conjecture about the coefficients of the special several variables polynomials mentioned in Chapter 2. We investigate more about this conjecture in Chapter 4.In Chapter 5, we works with the zeta values of Goss. We generalize Speyer's results (2017) in the context of rank one Drinfeld modules.Finally, in Chapter 6, we study the multiple zeta values which is introduced by Thakur in 2004. We prove a conjecture of Lara Rodriguez and Thakur which gives a full list of depth 2 zeta-like of a specific bounded weight. We also give a similar result about determining completely all zeta-like of weight of that bound.