Cohomologie motivique en arithmétique des corps de fonctions

Motivic cohomology in the arithmetic of function fields

• Auteur / Autrice : Quentin Gazda
• Direction : Federico Pellarin
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 12/11/2021
• Etablissement(s) : Lyon
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences Ingénierie Santé (Saint-Etienne)
• Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : Université Jean Monnet (Saint-Étienne ; 1969-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Camille Jordan (Rhône ; 2005-....)
• Jury : Président / Présidente : Stéphane Gaussent
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Cécile Armana, Javier Fresán, Tuan Ngo Dac, Julien Roques
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Urs Hartl, Gebhard Böckle

Mots clés

Mots clés contrôlés

Beilinson, Conjectures de

Cohomologie

Mots clés libres

Cohomologie motivique

A-modules d'Anderson

Conjectures de Beilinson

Polylogarithmes de Carlitz

Motivic cohomology

Anderson's A-modules

Beilinson's guesses

Carlitz polylogarithms

Résumé

Les invariants arithmétiques les plus profonds attachés à une variété algébrique définie sur un corps de nombres sont conjecturalement capturés par sa dénommée cohomologie motivique. Les valeurs de fonctions L et les K-groupes de variétés en sont quelques exemples. Cette thèse dépeint le portrait analogue pour les corps globaux de caractéristique positive. L’objectif principal est de décrire les groupes d’extensions dans certaines catégories de A-modules d’Anderson et de montrer un théorème de finitude. Nous concluons sur une formulation de la première conjecture de Beilinson en arithmétique des corps de fonctions. Pour terminer, nous expliquons comment nos résultats s’appliquent pour étudier les relations algébriques entre les valeurs des polylogarithmes de Carlitz.

The deepest arithmetic invariants attached to an algebraic variety defined over a number field are conjecturally captured by its so-called motivic cohomology. Values of L-functions and K-groups of varieties are some examples. This thesis describes the analogous picture for global fields in equal characteristic. The main objective is to compute the extension modules in various categories of Anderson A-motives and to prove a finiteness theorem. We conclude with a formulation of Beilinson’s first conjecture in function fields arithmetic. Finally, we explain how our results apply to investigate algebraic relations among values of Carlitz polylogarithms.